3. 德阳二模

2. 日照一模

(20)(本小题满分12分)

　 　已知数列的前项和为且。

　　 (Ⅰ)求证数列是等比数列，并求；

　　 (Ⅱ)已知集合问是否存在实数，使得对于任意的都有?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

(20)解：(Ⅰ)当时， …………………………1分

时，由得

，变形得：………………………………………4分

故是以为首项，公比为的等比数列，………………………………6分

(Ⅱ)(1)当时，只有时

不适合题意　　　　　　　　　　 ……………………………………………………7分

(2)时，

即当时，不存在满足条件的实数………………………………………………………9分

(3)当时，

而

因此对任意的要使只需 解得………………………11分

综上得实数的范围是　　　　 ……………………………………………………12分

(21)(本小题满分12分)

　　 已知抛物线的方程是圆的方程是

直线是的公切

线，是的焦点．

　　 (Ⅰ)求与的值；

(Ⅱ)设是抛物线上的一动点，以为切点作的

切线交轴于点，若，则点在一定直线上，试证明之。

(21)解：(Ⅰ)由己知，圆的圆心为，半径

由题设圆心到直的距离

即解得(舍去)…………………………………………3分

设与抛物线相切的切点为又得

代入直线方程，得……………………6分

所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的方程为焦点

设，由(Ⅰ)知以为切点的切线方程为…………8分

令得点的坐标为

所以　 ……………………………………………10分

，因设

即点在定直线上　 ……………………………………………………12分

(22)(本小题满分14分)

　 　己知。

　 　(Ⅰ)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；

　 　(Ⅱ)当时，证明函数只有一个零点；

　 　(Ⅲ)的图象与轴交于两点中点为，求证：。

(22)解：(Ⅰ)依题意：

在上递增，对恒成立

即对恒成立，只需　 ……………………………2分

　当且仅当时取，

的取值范围为　　　 ……………………………………………………………4分

(Ⅱ)当时，，其定义域是

……………………………………6分

时，当时，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

当时，函数取得最大值，其值为

当时，即

函数只有一个零点　　　　 ……………………………………………………………9分

(Ⅲ)由已知得 　两式相减，得

　 …………11分

由及，得

…………………………………12分

令且

在上递减，

　　 ……………………………………………………………………14分

19．(本小题满分12分)

某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①；②；③．(以上三式中、均为常数，且)

(I)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？

(II)若，，求出所选函数的解析式(注：函数定义域是．其中表示8月1日，表示9月1日，…，以此类推)；

(III)为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

解：(I)根据题意，应选模拟函数　　　　　 2分

，　　　　 3分

若≥恒成立，即≥恒成立

解之得≤．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　10分

(III)由(II)得≥，即≤　　　　　　 　　　　　　11分

≤　　　　　　　 　12分

　　　　　　　　　 13分

所以，得　　　　　　　　　　　 9分

所以　　　　　　　　　　　　

所以直线的斜率为，　　　　　　　　　　 10分

则直线的方程可设为

由，得点的坐标为　　　　　　　 12分

所以≥

当且仅当即时取等号．　　　　　　　　　　　 14分

1.宁乡县开模

20.证明：

　 假设∴　 ………1分

∵，

∴＝

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………3分

是首项为2，公差为1的等差数列.　　　　　　 ………………………………4分

　 =,　　　 …………6分

　 =.　 …………8分

　，　　　 　…………………………………9分

.　　 …………………………………13分

　　　　　　　　 .…………16

20. (本小题满分16分)数列中,,其前项的和为.求证：.

19.解: ，对反复使用上述关系式，得

　 ，　　　　　　 ①

在①式两端同乘，得

　　　　 ②

②①，得

　　　　　　 ．

即．

如果记，，

则．

其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．

19．(本小题满分16分)

公民在就业的第一年就交纳养老储备金，以后每年交纳的数目均比上一年增加，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．

求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．

18.解：(I)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

(II)解：，证明如下：

(1)对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

(2)对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由(1)(2)可知，．

18. (本小题满分14分)

，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

(I)对任何具有性质的集合，证明：；

(II)判断和的大小关系，并证明你的结论．