20．(本小题满分14分)

设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4.

　(1)求圆心的轨迹E的方程；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)过点(0，1)，作轨迹的两条互相垂直的弦、，设、 的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．

19. (理)(Ⅲ)同解法一　 19．(Ⅰ)解，依题意每年投入构成首项为800万元，公比为的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为的等比数列。………………………………2分

所以，………………………………4分

(Ⅱ)解，经过年，总收投入………5分

　　　　 经过年，总收入……………6分

　设经过年，总收入超过总投入，由此，,

　化简得　　 ………………………………8分

设代入上式整理得，

解得，或(舍去)………………………………10分

由，时，，，＝………12分

因为 在定义域上是减函数，所以 ……………………13分

答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。………………………………14分

19. (本题满分14分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.

(Ⅰ)设第年(本年度为第一年)的投入为万元，旅游业收入为万元，写出，的表达式；

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？

1.广州市第八十三二模

21. [解析](1)令，解得，由，解得，

∴函数的反函数，则，得．

是以2为首项，l为公差的等差数列，故．　　　　　 ……3分

(2)∵，∴，

∴在点处的切线方程为，

令， 得，∴，

∵仅当时取得最小值，∴，解之，

∴的取值范围为．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……7分

(3)，．

则，

因，则，显然．

∴

∴

∵，∴，

∴，∴

∴． ……12分

21．(本小题满分12分)已知函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为．

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若数列的项仅最小，求的取值范围；

(3)令函数，，数列满足：，，且，其中．证明：．

20.解:(Ⅰ)因为，所以有

所以为直角三角形； …………………………2分

则有

所以，　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………3分

又，　　　　　 ………………………4分

在中有

即，解得

所求椭圆方程为　　　　　　　　　　　 …………………………6分

　(Ⅱ)

从而将求的最大值转化为求的最大值　　　　　　 …………………8分

是椭圆上的任一点，设，则有即

又，所以　　　　 ………………10分

而,所以当时，取最大值

故的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

20．(本小题满分12分)已知均在椭圆上，直线、 分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.

19.解：(Ⅰ)已知函数，　 …………1分

又函数在处取得极值2，　　　　　…………2分

即　　　 　　　 　…………………4分

(Ⅱ)由，得，即

所以的单调增区间为(－1，1)　　　 …………………　 6分

因函数在(m，2m+1)上单调递增，

则有，　　　　　　　　　　　 …………7分

解得即时，函数在(m，2m+1)上为增函数　 ………8分

(Ⅲ)

直线l的斜率　　　　　　　　　 …………9分

　即　 令，　　 …………10分

则

　 即直线l的斜率k的取值范围是　 ……………12分

19．(本小题满分12分)已知函数，在处取得极值为．

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若为图象上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围．