20．依题意四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，设PA=x，PB=y，PC=z.

则AC=，BC=，AB=…………2分

∵PA、PB、PC两两垂直　 ∴V_P-ABC=xyz　 ∴a=PA+PB+PC+AB+BC+CA

=x+y+z+++…………4分　 ≥3+≥3+3

=3+3…………7分　 ∴≤

∴　 当且仅当x=y=z时，上式等号成立.

即A、B、C三点距P点距离为时四面体有最大体积……………………10分

19．①过P在平面PCD内作PO⊥CD，垂足为O，∵△PCD为正三角形　 ∴O为CD的中点

又平面PCD⊥底面ABCD　 ∴PO⊥底面ABCD　 而ABCD为菱形，由面积得

2·2sin∠ADC=2　 　∴∠ADC=60°

从而△ACD为正三角形，AO⊥CD，∴PA⊥CD……………………………6分

②设过C、D、M的平面交PA于N，∵CD//AB　 ∴CD//平面PAB　 ∴CD//MN//AB

由于M为PB的中点，∴N为PA的中点.　 又PD=AD　 ∴DN⊥PA　 由①可知PA⊥CD

∴PA⊥平面CDM　 于是平面CDM⊥平面PAB…………………………10分

18．①由题设可知△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACD=90°　 即AC⊥CD　 ∵平面ABC⊥平面ACD∴CD⊥平面ABC　 于是CD⊥AB　 又AB⊥BC　 ∴AB⊥平面BCD…3分

②过B在平面ABC内作BO⊥AC，垂足为O，∵平面ABC⊥平面ACD，∴BO⊥平面ACD在平面ACD内作OE⊥AD，垂足为E，连结BE，则BE⊥AD ∴∠BEO为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角.　 在Rt△BEO中，BO=a，由 得于是　

∴∠BEO=60°…………7分

③设C到平面ABD的距离为h，由V_C－ABD=V_B-ACD 得　 …10分

17．设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F ∵每个面都是五边形，∴每个面都有五条棱故E=　 F=…………3分　 又每个顶点都有三条棱相交，∴E=　 V=…………6分

由欧拉公式　 V+F－E=2得　 +－E=2　 解得 E=30　 F=12，V=20……8分

16．假设H是△SBC的垂心，连接BH，则BH⊥SC………………………………2分

而BH为AB在平面SBC内的射影.　　 ∴BH⊥AB　　 又SA⊥底面ABC　　 ∴SA⊥AB　 于是AB⊥平面SAC………………6分　　 ∴AB⊥AC　 即∠BAC=90°　

这与△ABC是锐角三角形矛盾，故假设不成立，H不可能是△SBC的垂心.……8分

20．(本小题满分10分)用总长为a米的钢条，制成一个顶点P的三个角都是直角的四面体P-ABC的六条棱，问截面ABC的位置怎样时，所围成的四面体的体积最大？

　棱　 锥

19．(本小题满分10分)四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为2的菱形，∠ADC为锐角，M为PB的中点.

①求证：PA⊥CD；②求证：平面CDM⊥平面PAB.

18．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，

∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使二面角B-AC-D成直二面角.

①求证：AB⊥平面BCD；

②求平面ABD与平面ACD所成二面角的大小；③求C到平面ABD的距离.

17．(本小题满分8分)已知简单多面体的每个面都是五边形，每个顶点都有3条棱相交，试求多面体的顶点数，棱数和面数.

16．(本小题满分8分)在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC.△ABC是锐角三角形，H是A在平面SBC内的射影.求证：H不可能是△SBC的垂心.