例10已知数列的前n项和=4+2(n∈N₊)，a=1.

(1)设=-2,求证：数列为等比数列，

(2)设C_n=,求证：是等差数列.

选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力.

证明：(1) =4+2, =4+2,相减得=4-4,

∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴=3×2?.

(2)　 ∵

∴是以为首项，为公差的等差数列.

说明：一个表达式中既含有又含有S_n，一般要利用

＝－(n≥2)，消去或，这里是消去了.

例11在等比数列中，，求的范围.

解：∵，∴

又∵，且，∴，

∴解之：

当时，，∴

(∵)

当时，，

∵且必须为偶数

∴，(∵)

例12 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵

　⑴ 解法1：＝＝

＝.

⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列

∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1)

∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

∴==

⑵解：由⑴解法2，有

=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

　　　　 ∴＝k5(105-2)=240k

　　　　　 ＝k8(48-3)=232k

　　　　 ∴ =

[追踪训练]

1．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。

解：设等差数列为{a_n}，公差为d，等比数列为{b_n},公比为q.

由已知得：a=b=1,?

又b＝a，∴q＝81，∴q＝3，

∴b＝bq＝27，即等比数列的第7项为27.

说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错.?

(三)、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。

5.常用结论

1): 1+2+3+...+n =

2) 1+3+5+...+(2n-1) =

3)

4)

5)　 　　

6)　

[精典范例]

一　 函数方程思想在研究数列问题中的运用

函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：

数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。

在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。

因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。

例1(1)首项为正数的等差数列{a}，其中S=S，问此数列前几项和最大？

(2)等差数列{a}中，S=100，S=300，求　　　 S。

(3)等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。

分析　 (1)等差数列前n项和S=n+(a－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值；

(2)由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。

(3)求S的关键，在于求a,由a=dn+(a－d)(d≠0)知，它是关于n的一次函数，故可设a= An+B，由条件列出方程组求A、B。

[解](1)设S= An+B(A≠0)，

∵S=S，

∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。

又∵S= An+B=A(n+)－,

∴当n=－=7时，S有最大值S。

另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0,

又∵a+ a= a+ a= a+ a= a+a,

∴4(a+a)=0, a+a=0.

由于a＞0,据题意知a=－a＞0，a＜0

因此，前7项和最大。

(2)设S=An+Bn(A≠0)

∵S=100，S=300,

∴

∴S=900×+30×5=600。

另解 ∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。

∴S－S=2(S－S)－S

∴S=600

(3)设a=An+B(A≠0)

∵a=15,a=a·a,

∴ 　

∴ 　　　　　

a=2n－1

∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+(2×n－1)

=2×(1+2+…+n)－n

=n(n+1)－n=n.

评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。

二 求数列的通项公式

数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。

1.　　 观察法

观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。

例2写出下面各数列的一个通项公式

(1)，…；

(2)1，－…；

(3)…；

(4)21，203，2005，20007，…；

(5)0.2,0.22,0.222,0.2222,…；

(6)1，0，1，0，…；

(7)1，…

[解](1)注意各项的分子分别是1，2，3，4，…，分母比分子大1，

∴数列的通项公式为a=.

(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作2－1=1，2－1=3，2－1=7，2－1=15，2－1=31，…，各项分子均为1。

∴数列的通项公式为a=(－1)·

(3)各项的分母分别是2，2，2，2，…分子比分母小1。

∴数列的通项公式为a=

(4)各项可看作21=2×10+1203=2×100+32005=2×1000+5

20007=2×10000+7，

∴数列的通项公式为a=2×10+(2n－1).

(5)把各项适当变形0.2=2×0.1=×0.9=×(1－),0.22=2×0.11=×0.99=×(1－),0.222=×(1－),0.222=×(1－),…，

∴数列的通项公式为a=·(1－)。

(6)奇数项皆为1，偶然项为0，

∴数列的通项公式为a=

(7)各项可看作1=1+0，=+1，=+0，=+1，=+0，=+1，…，∴数列的通项公式为a=+.

评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：

(1)　　　 观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有(－1)或者(－1)部分，如本例中(2)，(6)，(7)也有所涉及。

(2)　　　 分解分子分母的因数(式)，考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例(2)，(3)，(4)等。

(3)　　　 考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例(1)，(2)，(3)等。

2.　　 已知S求a或已知S与a的关系求a

已知数列{a}的前n项和S求a时，要注意运用a和S的关系，即

例3已知下列各数列{a}的前n项和S的公式，求{a}的通项公式。

(1)　　　 S=10－1；(2)S=10+1；

[解](1)当n=1时，a=S=9,

当n≥2时，a= S－S=(10－1)－(10－1)=10－10=9·10，

且n=1时，a=9也适合上式，∴a=9·10(n).

(2)当n=1时，a=S=10+1=11,

当n≥2时，a= S－S=(10+1)－(10+1)=9·10，

而n=1时，a=11，不适合上式，

∴

评析 已知{a}的前n项和S求a时应注意以下三点：

(1)　　　 应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。

(2)　　　 由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。

(3)　　　 由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示(“分号”)，即 如本例中(2)，(3)。请观察本例中(1)与(2)的差异及联系。

3.　　 累差法

若数列{a}满足a－a=f(n)(n),其中{f(n)}是易求和数列，那么可用累差法求a。(请你复习求等差数列通项公式的部分)

例4求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。

[解] ∵a－a=3－1=2,

a－a=7－3=4,

a－a=13－7=6,

…

a－a=2(n－1)

以上n－1个等式左右两边分别相加，得

a－a=2[1+2+3+…+(n－1)]=(n－1)n，

∴a=n－n+1.

且n=1时，a=1适合上式。

∴a=n－n+1.

评析 我们应验证n=1时a=1适合a=n－n+1式，这是什么原因。

4.　　 累商法

若数列{a}满足=f(n)( n),其中数列{f(n)}前n项积可求，则可用累商法求a.

例5在数列{a}中，a=2，a= a,求通项a。

[解] ∵a=2，a= a,

∴=，

=，

……

=。

以上n－1个等式左右两边分别相乘得

=n, a=2n.

且n=1时，a=2也适合上式。

∴a=2n .

5.　　 构造法

直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。

例6各项非零的数列{a}，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。

[解] ∵a=1，2S=2aS－a, n≥2,又a= S－S.

∴2S=2S－2 SS－S+ S，

∴－=2 (n≥2)(怎么得到的？)

∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，

∴=1+(n－1)·2=2n－1, S=.

∴a= S－S=－=　 (n≥2)

又a=S=1,不适合上式，

∴

有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。

评析 构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。

注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知S求a的问题。

三 数列求和

数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。

1.公式法

能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。

例7数列{a}的通项a=n－n，求前n项和S。

[解] S=(1－1)+(2－2)+…+(n－n)

=(1+2+…+n)－(1+2+…+n)

=－

=。

2.倒序求和法

3.错项求和法

[例2]求和S=+++…+。

请你独立完成，相信你会有更深的体会。

答案 S=3－。

4.裂拆项法

例8在数列{a}中，a=10+2n－1,求S

[解] S=(10+2×1－1)+(10+2×2－1)+…(10+2n－1)

=(10+10+…+10)+2×(1+2+…+n)－n

=+n(n+1)－n

=(10－1)+n.

注意 把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。

练习：求数列1，1+2，1+2+3，…的前n项的和。

答案 S=。

例9已知数列{a}：，，，…，…，求它的前n项和。

分析 我们先看通项a==，然后想什么办法求S呢？将通项分裂成两项之差如何？

[解]∵a==2()，　　　　 (为什么呢？)

∴S=a+a+a+…+a

=2[(1－)+(－)+(－)+…+()]

=2(1－)=。 (成功了！)

评析　 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。

常用的裂项技巧如：=()；

=(－)等。

使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{a}中每一项a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。

(二)等差数列和等比数列

1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质

	等差数列	等比数列
定义
通项公式	=+(n-1)d=+(n-k)d=+-d
求和公式
中项公式	A=　 推广：2=	。 推广：
性质	1	若m+n=p+q则	若m+n=p+q，则。
2	若成A.P(其中)则也为A.P。	若成等比数列 (其中)，则成等比数列。
3	成等差数列。	成等比数列。
4

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：

(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证都成立。

3. 在等差数列{}中,有关S_n 的最值问题：

(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。

(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

(一)数列的概念

数列的定义(一般定义，数列与函数)、数列的表示法。

数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：

对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是　

5．若等比数列{a_n}中，S₄＝2，S₈＝6，则a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀的值等于__32____.

4．等比数列{a_n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=___2___.

3.数列1，1+2,1+2+2²，…，(1+2+2²+…+2^n－1)，…，前n项和等于(　 B )

A.2ⁿ⁺¹－n　　　 　　 　　B.2ⁿ⁺¹－n－2

C.2ⁿ－n　 　　　　　　 D.2ⁿ　

2．已知{a_n是公比为的等比数列}，若a₁+a₄+a₇+…+a₉₇=100,则a₃+a₆+a₉+…+a₉₉的值是(　 A )

A.25　　　 　　　 B.50　 　　C.75　　 　 D.125

1．已知等比数列{a_n}中，前n项和S_n=54,S_2n=60,则S_3n等于(　 C )

A.64　　　 　　 B.66　　　 C.60　　 D.66

4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？

[解]设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则

a₁=1000×(1+50%)－x=1000×－x；

a₂=(1000×－x)(1+50%)－x

=1000×()²－(1+)x;

依次类推得a₅=1000×()⁵－[1++()²+()³+()⁴]x.

由题意知：

1000×()⁵－[1++()²+()³+()⁴]x

=2000

解得x≈424万元

[选修延伸]

[例3]设数列 的首项a₁=1,前n项的和S_n满足关系式3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。

(1)求证：数列 是等比数列；

(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b₁=1,b_n=f() (n=2,3,4,…)，求的通项公式。

(3)求和：b_1­b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1

[解](1)求得a₁=S₁=1　 S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入关系式，得 ,又3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t, 3tS_n－1－(2t+3)S_n－2=3t, 两式相减得3ta_n－(2t+3)a_n－1=0,

∴

(2)由f(t)=　

得b_n=f

由此可得

(3)原式

=b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n－1－b_2n+1)

=

[例4]在数列中，求数列的前n项和S_n.

分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。

[解]当n=2k(k∈N+)时，a_1­,a₃,a₅,…，a_2k－1，…，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a₂,a₄，…，a_2k，…成等比数列，公比为q，首项为a₂=9,

.　

将k=代入得

当n=2k－1时，由S_2k－1=S_2k－a_2k，得.

追踪训练二