2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差.

1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.

9.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.

解：设ξ为巧合数，则P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)=0，P(ξ=4)==，

所以Eξ=0×+1×+2×+3×0+4×=1.

所以巧合数的期望为1.

●思悟小结

8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过.

证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则P(ξ=0)=1－p，P(ξ=1)=p，Eξ=0×(1－p)+1×p=p，Dξ=(1－p)·(0－p)²+p(1－p)²=p(1－p)≤()²=.

所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过.

探究创新

7.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.

解：设A_i={部件i需要调整}(i=1，2，3)，则P(A₁)=0.1，P(A₂)=0.2，P(A₃)=0.3.

由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A₁，A₂，A₃相互独立，可见

P(ξ=0)=P()=0.9×0.8×0.7=0.504；

P(ξ=1)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；

P(ξ=2)=P(A₁A₂)+P(A₁A₃)+P(A₂A₃)=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；

P(ξ=3)=P(A₁A₂A₃)=0.1×0.2×0.3=0.006.

∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，

Dξ=Eξ²－(Eξ)²=1×0.398+4×0.092+9×0.006－0.6²=0.82－0.36=0.46.

6.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.

解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：

4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P(ξ=5)==，

P(ξ=6)==，P(ξ=7)==，

P(ξ=8)==，Eξ=5×+6×+7×+8×==.

培养能力

5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.

解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ-B(50，0.8)，η=2ξ，故成绩的期望为Eη=E(2ξ)=2Eξ=2×50×0.8=80(分)；

成绩的标准差为ση====2=4≈5.7(分).

4.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为________.

解析：设甲在途中遇红灯次数为ξ，

则ξ-B(3，)，

所以Eξ=3×=1.2.

答案：1.2

3.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.

解析：Dξ=npq≤n()²=，等号在p=q=时成立，此时，Dξ=25，σξ=5.

答案： 　5

2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为

A.2.44　　　　　　　　　　　　 B.3.376　　　　　　　　　　　　 C.2.376　　　　　　　　　　　　 D.2.4

解析：ξ=0，1，2，3，此时P(ξ=0)=0.4³，P(ξ=1)=0.6×0.4²，P(ξ=2)=0.6×0.4，P(ξ=3)=0.6，Eξ=2.376.

答案：C