3.函数的最大值与最小值

(1)设y=f(x)是定义在区间［a,b］上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.

①求y=f(x)在(a,b)内的极值.

②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

(2)若函数f(x)在［a,b］上单调增加,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(a)在［a,b］上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

特别提示

我们把使导函数f′(x)取值为0的点称为函数f(x)的驻点,那么

(1)可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f(0)=0,可是我们在前面已说明过,f′(0)根本不存在,所以点x=0不是f(x)的驻点.

(2)可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f(x)=x³的导数是　　　　 f′(x)=3x²,在点x=0处有f′(0)=0,即点x=0是f(x)=x³的驻点,但从f(x)在(－∞,　　　　　　 +∞)上为增函数可知,点x=0不是f(x)的极值点.

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2.可导函数的极值

(1)极值的概念

设函数f(x)在点x ₀附近有定义,且若对x₀附近所有的点都有f(x)＜f(x₀)(或f(x)＞f(x₀)),则称f(x₀)为函数的一个极大(小)值,称x₀为极大(小)值点.

(2)求可导函数f(x)极值的步骤.

①求导数f′(x).

②求方程f′(x)=0的根.

③检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.

1.函数的单调性

(1)设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f′(x)＞0,则f(x)为增函数;若f′(x)＜0,则f(x)为减 函数.

(2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法.

①确定函数f(x)的定义区间.

②求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.

③把函数f(x)的间断点(即包括f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.

④确定f′(x)在各小开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

14.2　 导数的应用

●知识梳理

2.可补充导数的另一种定义形式：f′(x₀)=.

拓展题例

[例题] 讨论函数f(x)=在x=0处的可导性.

解:函数f(x)在x=0处是否可导，即当Δx→0时的极限是否存在.

∵

= =1,

= =0,

又∵≠,

∴当Δx→0时的极限不存在，因此f(x)在x=0处不可导.

1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解，注重对导数基本公式的熟练运用.

3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会.

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教学点睛

2.求复合函数的导数的方法步骤：

(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量.

(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.

(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.

1.求函数y=f(x)在点x₀处的导数通常有以下两种方法：

(1)导数的定义，即求的值.

(2)利用导函数的函数值,即先求函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数f′(x),再将x₀(x₀∈(a,b))代入导函数f(x),得函数值f′(x₀).

9.利用导数求和：

(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N *).

(2)S_n=C+2C+3C+…+nC (n∈N *).

解:(1)当x=1时，S_n=1+2+3+…+n= (n+1),

当x≠1时，∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

两边对x求导，得S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=()=.

(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+C x²+…+C xⁿ,

两边对x求导，得n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nC x ^n－1.

令x=1,得n·2^n－1=C +2C+3C+…+nC,

即S_n=C+2C +3C +…+nC=n·2^n－1.

●思悟小结