8.在二项式(+)ⁿ的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.

分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项.

解：前三项系数为C，C，C，由已知C=C+C，即n²－9n+8=0，

解得n=8或n=1(舍去).

T=C()^8－r(2)^－r=C··x.

∵4－∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

∴r=0，r=4，r=8.∴展开式中x的有理项为T₁=x⁴，T₅=x，T₉= x^－2.

评述：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－∈Z即可，而不需要指数4－∈N.

探究创新

7.在二项式(ax^m+bxⁿ)¹²(a＞0，b＞0，m、n≠0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.

(1)求它是第几项；(2)求的范围.

解：(1)设T=C(ax^m)^12－r·(bxⁿ)^r=Ca^12－rb^rx^m(12－r)+nr为常数项，则有m(12－r)+nr=0，即m(12－r)－2mr=0，∴r=4，它是第5项.

(2)∵第5项又是系数最大的项，

Ca⁸b⁴≥Ca⁷b⁵.　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①得a⁸b⁴≥a⁹b³，

∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.

由②得≥，∴≤≤.

6.若(1+x)⁶(1－2x)⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹.

求：(1)a₁+a₂+a₃+…+a₁₁；

(2)a₀+a₂+a₄+…+a₁₀.

解：(1)(1+x)⁶(1－2x)⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹.令x=1，得

a₀+a₁+a₂+…+a₁₁=－2⁶，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又a₀=1，

所以a₁+a₂+…+a₁₁=－2⁶－1=－65.

(2)再令x=－1，得

a₀－a₁+a₂－a₃+…－a₁₁=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①+②得a₀+a₂+…+a₁₀=(－2⁶+0)=－32.

评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.

5.已知(x+1)ⁿ展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.

解：由题意C+C+C=22，

即C+C+C=22，

∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.

∴C(x)³=20000，即x^3lgx=1000.

∴x=10或x=.

培养能力

4.(2004年湖南，理15)若(x³+)ⁿ的展开式中的常数项为84，则n=_____________.

解析：T=C(x³)^n－r·(x)^r=C·x.

令3n－r=0，∴2n=3r.

∴n必为3的倍数，r为偶数.

试验可知n=9，r=6时，C=C=84.

答案：9

3.(2004年全国Ⅳ，13)(x－)⁸展开式中x⁵的系数为_____________.

解析：设展开式的第r+1项为T=Cx^8－r·(－)^r=(－1)^rCx.

令8－=5得r=2时，x⁵的系数为(－1)²·C=28.

答案：28

2.(2004年福建，文9)已知(x－)⁸展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是

A.2⁸ B.3⁸ C.1或3⁸ D.1或2⁸

解析：T=C·x^8－r·(－ax^－1)^r=(－a)^rC·x^8－2r.

令8－2r=0，∴r=4.

∴(－a)⁴C=1120.∴a=±2.

当a=2时，令x=1，则(1－2)⁸=1.

当a=－2时，令x=－1，则(－1－2)⁸=3⁸.

答案：C

1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

A.20　　　　　　　 　　 B.2¹⁹ C.2²⁰ D.2²⁰－1

解析：C+C+…+C=2²⁰－1.

答案：D

5.若(x+1)ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+cx+1(n∈N^*)，且a∶b=3∶1，那么n=_____________.

解析：a∶b=C∶C=3∶1，n=11.

答案：11

●典例剖析

[例1] 如果在(+)ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

解：展开式中前三项的系数分别为1，，，

由题意得2×=1+，得n=8.

设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.

有理项为T₁=x⁴，T₅=x，T₉=.

评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.

[例2] 求式子(｜x｜+－2)³的展开式中的常数项.

解法一：(｜x｜+－2)³=(｜x｜+－2)(｜x｜+－2)(｜x｜+－2)得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得(－2)³；②一个括号取｜x｜，一个括号取，一个括号取－2，得CC(－2)=－12，

∴常数项为(－2)³+(－12)=－20.

解法二：(|x|+－2)³=(－)⁶.

设第r+1项为常数项，

则T=C·(－1)^r·()^r·|x|=(－1)⁶·C·|x|，得6－2r=0，r=3.

∴T₃₊₁=(－1)³·C=－20.

思考讨论

(1)求(1+x+x²+x³)(1－x)⁷的展开式中x⁴的系数；

(2)求(x+－4)⁴的展开式中的常数项；

(3)求(1+x)³+(1+x)⁴+…+(1+x)⁵⁰的展开式中x³的系数.

解：(1)原式=(1－x)⁷=(1－x⁴)(1－x)⁶，展开式中x⁴的系数为(－1)⁴C－

1=14.

(2)(x+－4)⁴==，展开式中的常数项为C·(－1)⁴=1120.

(3)方法一：原式==.

展开式中x³的系数为C.

方法二：原展开式中x³的系数为

C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C.

评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.

[例3] 设a_n=1+q+q²+…+q(n∈N^*，q≠±1)，A_n=Ca₁+Ca₂+…+Ca_n.

(1)用q和n表示A_n；

(2)(理)当－3<q<1时，求.

解：(1)因为q≠1，

所以a_n=1+q+q²+…+q=.

于是A_n= C+ C+…+C

=［(C+C+…+C)－(Cq+Cq²+…+Cqⁿ)］

={(2ⁿ－1)－［(1+q)ⁿ－1］}

=［2ⁿ－(1+q)ⁿ］.

(2)=［1－()ⁿ］.

因为－3<q<1，且q≠－1，

所以0<| |<1.

所以=.

●闯关训练

夯实基础

4.(2004年湖北，文14)已知(x+x)ⁿ的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x⁵的系数是_____________.(以数字作答)

解析：∵(x+x)ⁿ的展开式中各项系数和为128，

∴令x=1，即得所有项系数和为2ⁿ=128.

∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为T=C(x)·(x)^r=C·x，

令=5即r=3时，x⁵项的系数为C=35.

答案：35