27.（2000全国理，18）如图5―11，已知平行六面体ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）证明：C₁C⊥BD；

（2）求cos< >的值；

（3）求证：A₁B⊥C₁M.

（1）求的长；

26.（2000天津、江西、山西）如图5―10所示，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

图5―9        图5―10          图5―11

25.（2000上海，18）如图5―9所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.

（a×b）?c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，试计算（×）?的绝对值的值；说明其与四棱锥P―ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）?的绝对值的几何意义.

24.（2000上海春，21）四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求证：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱锥P―ABCD的体积；

（3）对于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定义一种运算：

23.（2001上海）在棱长为a的正方体OABC―O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图5―8.

（1）求证：A′F⊥C′E.

（2）当三棱锥B′―BEF的体积取得最大值时，求二面角B′―EF―B的大小（结果用反三角函数表示）

22.（2001上海春）在长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

（1）求证：A₁C⊥平面AEF；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）