∵?=－xa+a（x－a）+a²=0

∴A′F⊥C′E

（2）解：设BF=x，则EB=a－x

三棱锥B′―BEF的体积

∴={－x，a，－a}，={a，x－a，－a}.

23.建立坐标系，如图5―20.

（1）证明：设AE=BF=x，则A′（a，0，a），F（a－x，a，0），C′（0，a，a），E（a，x，0）

解法二：用面积射影定理cosα=.

评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.

由定理知，平面AEF与平面D₁B₁BD所成角的大小为arccos.

注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.

解法一：设AG与BD交于M，则AM⊥面BB₁D₁D，再作AN⊥EF交EF于N，连接MN，则∠ANM即为面AEF与D₁B₁BD所成的角α，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.

所以cosα=.

AG={，3，0}，A₁C={4，3，－5}.

因为AG与A₁C所成的角为α，

如图5―19建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A₁（0，0，5），

C（4，3，0）.

由已知，计算得DG=.

所以A₁C⊥平面AEF.

（2）解：过A作BD的垂线交CD于G，因为D₁D⊥AG，所以AG⊥平面D₁B₁BD.

设AG与A₁C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D₁B₁BD所成的角.