15.(本小题满分8分)进行某种试验,设试验成功的概率为,失败的概率为,以ξ表示试验首次成功所需试验的次数,试写出ξ的分布列,并计算ξ取偶数的概率.

分析 本题考查如何布列离散型随机变量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k表示前(k-1)次试验失败而第k次试验成功这一事件,ξ服从几何分布.它是相互独立事件同时发生的概率模型.设事件A₁,A₂,…,A_n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A₁·A₂·…·A_n)=P(A₁)·P(A₂)·…·P(A_n).

解 随机变量ξ的取值是1,2,3,…,k,….　　　　 2分

∵P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=·(),

P(ξ=3)=·()²,

…

P(ξ=k)=·()^k-1,

…

ξ	1	2	3	…	K	…
P		·	·()2	…	·()k-1	…

∴ξ的分布列为

5分

取偶数的概率为

14.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下:0 001,0 002,0 003,…,1 000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分成50个部分,如果第一部分编号为0 001,0 002,0 003,…,0 020,在第一部分随机抽取一个号码为0 015,则抽取的第40个号码为.

解析 由系统抽样的要求可知,所抽取的号码是首项为a₁=0 015,公差为d=20的等差数列.所以a₄₀=a₁+(40-1)d=0 015+39×20=0 795.

答案 0 795

13.一批产品,分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,二级品是三级品的两倍,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量ξ,则ξ的分布列为　　　　　　　 及P(ξ＞1)=　　　　　　　 .

解析 由题意知ξ=1,2,3.ξ取1,2,3的概率依次是4a,2a,a,因为4a+2a+a=1,所以a=,即ξ取1,2,3的概率依次是,,.

答案 分布列为

ξ	1	2	3
P

P(ξ＞1)=.

12.右图是一样本的频率分布直方图,其中(4,7)内的频数为4,数据在［1,4)∪［7,16)内的频率为　　　　 ,样本容量为　　　　　 .

分析 本题考查一样本在给定区间内的频率及该样本的容量.注意用相应的直方图面积来表示在各个区间内取值的频率时,所有小矩形的面积和等于1.

解 在(4,7)内的频率为P₁,且=,

所以P₁=.

所以数据在［1,4)∪［7,16)内的频率为.

设样本容量为n,则=,解得n=22.

答案 　22

11.设一次试验成功的概率为p,现进行16次独立重复试验.当p=　　　 时,成功次数的标准差最大,其最大值为　　　　　 .

分析 本题考查服从二项分布的随机变量的标准差.解题的关键是构造目标函数.

解 由于成功的次数ξ服从二项分布,所以Dξ=npq=16p(1-p).

∴σξ=16p(1-p)=4p(1-p)≤4×p+1-p[]2=2.

当且仅当p=1-p,即p=1[]2时取等号,此时(σξ)max=2.

另解 σξ=,

∵0≤p≤1,∴当p=时,(σξ)_max=2.

答案 　2

10.右图是当σ取三个不同值σ₁、σ₂、σ₃的三种正态曲线N(0,σ²)的图，那么σ₁、σ₂、σ₃的大小关系是(　 )

A.σ₁>1>σ₂>σ₃>0　　　　　　　　　　 B.0<σ₁<σ₂<1<σ₃

C.σ₁>σ₂>1>σ₃>0　　　　　　　　　　 D.0<σ₁<σ₂=1<σ₃

分析 本题考查正态曲线的性质.

解 由正态曲线,可知

当μ=0时，.

令x=0,得.

当σ=1时，;

当0<σ<1时，它与y轴交点的纵坐标大于f(0);

当σ>1时，它与y轴交点的纵坐标小于f(0).

答案 D

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

9.已知随机变量ξ~B(9,),则使P(ξ=k)取得最大值的k值为 (　　 )

A.2　　　　　　　 B.3　　　　　　　　 C.4　　　　　　　　　　 D.5

分析 ξ~B(n,p)为二项分布,要熟记二项分布的公式P(ξ=k)=p^k(1-p)^n-k,求P(ξ=k)的最大值,还要注意对不等式组的运算.

解 ∵ξ服从二项分布,

∴P(ξ=k)=()^k()^9-k,

要使P(ξ=k)最大,则只需

即

解得k=2.

答案 A

8.每次从0~9这10个数字中随机取一个数字(取后放回)，连续取n次，得到n个数字组成的数字序列.若使该序列中的数字6至少出现一次的概率为0.8，则n的最小值是(　　 )

A.14　　　　　　　　 B.15　　　　　　　　 C.16　　　　　　　　　 D.17

分析 本题考查等可能性事件概率的应用.

解 有放回地排列n个数字，得10ⁿ个基本事件，其中不含6的基本事件为9ⁿ.由题意得≥0.8,

即0.9ⁿ≤0.2,∴n≥≈15.3.

∴n最小取16.

答案 C

7.★某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年可获利12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去100例类似项目开发的实施结果:

则该公司一年后估计可获收益的期望是(　　 )

A.4 000元　　　　　　　　　　　　　 B.4 520元

C.25 000元　　　　　　　　　　　　 D.4 760元

分析 本题考查概率的基本知识和数学期望概念,应用概率知识解决实际问题的能力.

解 收益的期望为5×12%×-5×50%×=0.476 0(万元)=4 760(元).

答案 D

6.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:

则取到号码为偶数的频率是(　 )

A.0.53　　　　　　　　 B.0.5　　　　　　 C.0.47　　　　　　　 D.0.37

解析

答案 C