3．| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

[答案]C

[详解]

　　　 设所求两向量的夹角为

　　　 　即：

　　　 所以

[名师指津]

　　　 对于这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件

　 　　　 必需掌握.

　 　 　 1．设合集U=R，集合，则下列关系中正确的是(　　 )

　　　 A．M=P　　　　　　　　　 B．P　 M　　　　　　　　 C．M　　 P　　　　　　　 D．

[答案]C

[详解]

或　　

易得MP

[名师指津]

　　　 集合与集合之间关系的题目经常助图象来观察.

2．“”是“直线相互垂直”的　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．充分而不必要条件

　　　 C．必要而不充分条件　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

[答案]B

[详解]

当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0一条

斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条

件.

[名师指津]

　　　 对于两条直线垂直的充要条件①都存在时②中有一个不存在另一个为零

　　 对于②这种情况多数考生容易忽略.

(15)(本小题共12分)

　　 已知=2，求

(I)的值；　 (II)的值．

(16)(本小题共14分)

　　 如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA₁＝4，点D是AB的中点，

　 (I)求证：AC⊥BC₁；

　 (II)求证：AC ₁//平面CDB₁；

　 (III)求异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值．

(17)数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求

　 (I)a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；

　 (II)的值.

(18)(本小题共13分)

　　　 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，

　 (I)甲恰好击中目标的2次的概率；

　 (II)乙至少击中目标2次的概率；

　 (III)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．

(19)(本小题共14分)

　　 已知函数f(x)=－x³+3x²+9x+a,

(I)求f(x)的单调递减区间；

(II)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

(20)(本小题共14分)

　　 如图，直线 l₁：y＝kx(k>0)与直线l₂：y＝－kx之间的阴影区域(不含边界)记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂．

(I)分别用不等式组表示W₁和W₂；

(II)若区域W中的动点P(x，y)到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；

(III)设不过原点O的直线l与(II)中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别交于M₃，M₄两点．求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．

(9)抛物线y²=4x的准线方程是　　　　　 ；焦点坐标是　　　　　 ．

(10)的展开式中的常数项是　　　　　　　 (用数字作答)

(11)函数的定义域为　　　　　　　　 .

(12)在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为　　　　 ．

(13)对于函数f(x)定义域中任意的x₁，x₂(x₁≠x₂)，有如下结论：

　　　 ①f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)；② f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)； ③>0；④.

　　　 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是　　　　　　 .

(14)已知n次多项式,

　　 如果在一种算法中，计算(k＝2，3，4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要　　　　　　　 次运算．

　　 下面给出一种减少运算次数的算法：(k＝0， 1，2，…，n－1)．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要　　　　 次运算．

　 (1)设集合M={x| x>1，P={x| x²>1}，则下列关系中正确的是

　 (A)M＝P　 (B)PM　 (C)MP　 ( D)

(2)为了得到函数的图象，只需把函数上所有点

　 (A)向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

　 (B)向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

　 (C)向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

　 (D)向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

(3)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的

　　 (A)充分必要条件　　　　 (B)充分而不必要条件

　　 (C)必要而不充分条件　　 (D)既不充分也不必要条件

　 (4)若，且，则向量与的夹角为

　　 (A)30°　 (B)60°　　 (C)120°　 (D)150°

　 (5)从原点向圆 x²+y²－12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为

　　 (A)　 (B)　 　　(C)　　 (D)

(6)对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是

　　 (A)sin(α+β)>sinα+sinβ　　 (B)sin(α+β)>cosα+cosβ

　　 (C)cos(α+β)<sinα+sinβ　 (D)cos(α+β)<cosα+cosβ

(7)在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

　　 (A)BC//平面PDF　　　　　 (B)DF⊥平面PA E

　　 (C)平面PDF⊥平面ABC　　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

(8)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有

(A)种　　 (B)种　 (C)种　 (D)种

22．(本小题满分14分)

已知数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

(Ⅰ)求当a为何值时a₄=0；

(Ⅱ)设数列{b_n­}满足b₁=－1, b_n+1=，求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；

(Ⅲ)若，求a的取值范围.

解：(Ⅰ)∵a₁=a,∴1+=a₂,∴a₂=,,,

故当时,

(Ⅱ)∵b₁=-1,

当a=b₁时,a₁=1+=0

当a=b₂时,a₂==b₁,∴a₂=0,

当a=b₃时,a₃=1+=b₂,∴a₃=1+,∴a₄=0,

……

一般地,当a=b_n时,a_n+1=0,可得一个含育n+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_n+1.

可用数学归纳法加以证明：

①　　 当n=1时,a=b₁,显然a₂=0,得到一个含2项的有穷数列a₁,a₂.

②　　 假设当n=k时,a=b_k,得到一个含有k+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_k+1,其中a_k+1=0,则n=k+1时.a=b_k+1,∴a₂=1+.

由假设可知,可得到一个含有k+1项的有穷数列a₂,a₃,…,a_k+2,其中a_k+2=0.

由①②知,对一切n∈N⁺,命题都成立.

(Ⅲ)要使即,∴1<a_n-1<2.

∴要使,当且仅当它的前一项a_n-1,满足1<a_n-1<2,∵(,2)(1,2),

∴只须当a₄,都有

由得,

解不等式组得,故a>0.

21．(本小题满分12分)

已知方向向量为v=(1,)的直线l过点(0，－2)和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在过点E(－2，0)的直线m交椭圆C于点M、N，满足，

cot∠MON≠0(O为原点).若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)由题意可得直线ι：,　　 ①

过原点垂直ι的方程为　　　　　　 ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故椭圆C的方程为.　　　 ③

(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,则x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..

20．(本小题满分12分)

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

　 (Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小；

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴点D点D到平面ACE的距离为.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0),　　

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴,∴点D到平面ACE的距离

d=||.

19．(本小题满分12分)

已知函数的图象在点M(－1，f(x))处的切线方程为x+2y+5=0.

(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.

解：(Ⅰ)由函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,(-1)=.∵(x)=,∴

即解得a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1舍去)

∴所求函数y=f(x)的解析式是

(Ⅱ),令-2x²+12x+6=0,解得x₁=,x₂=

当x<,或x>时,;当<x<时,,

所以在(-∞, )内是减函数;在(,)内是增函数;

在(,+∞)内是减函数

18．(本小题满分12分)

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

解：(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则

	0	1	2
P

P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,甲、乙两人得分之和的可取值为0、1、2,则概率分布为

E=0×+1×+2×=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为

(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-=1-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为.