(13)某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　　　.

(14)设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝　　.

(15)已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(两点，则y的最小值是

　　　

(16)如图，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为　　.

(1)　　　 定义集合运算：A⊙B=﹛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A (0,1),B (2,3),则集合A⊙B的所有元素之和为

　(A) 0　　　　 　(B)6　　　　　　 (C)12　　　　　　 (D)18

　　 (2)设

(A)0　　　　 　(B)1　　　　　　 (C)2　　　　　　 (D)3

(3)函数

　

(A)　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)

(4)设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为

(A)(1，－1)　　　　 (B)(－1， 1)　　　　　　 (C) (－4，6)　　　　　　 (D) (4，－6)

(5)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝－f(x)，则f(6) 的值为

(A) －1　　　　 (B)0　　　　　　 (C)1　　　　　　 (D)2

(6)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=

(A)1　　　　 (B)2　　　　　　 (C) －1　　　　　　 (D)

(7)在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为

(A)　　　　 (B)2　　　　　　 (C) 　　　　　　　(D)2

(8)正方体的内切球与其外接球的体积之比为

(A)1∶　　　　 (B)1∶3　　　　　　 (C)1∶3　　　　　　 (D)1∶9

(9)设p∶∶0，则p是q的

(A)充分不必要条件 　　　　　　　 (B)必要不充分条件

(C)充要条件　　　　　　　　 (D)既不充分也不必要条件

(10)已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是

(A)－1　　　　 (B)1　　　　　　 (C)－45　　　　　　 (D)45

(11)已知集集合A={5}，B={1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为

(A)33　　　　 (B)34　　　　　　 (C)35　　　　　　 (D)36

(12)已知x和y是正整数，且满足约束条件则x－2x3y的最小值是

(A)24　　　　 (B)14　　　　　　 (C)13　　　　　　 (D)11.5

普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修Ⅰ)

第Ⅱ卷(共90分)

(15)如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0，1).

(Ⅰ)求φ的值；

(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求

(16)设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在(0，1)内有两个实根.

(17)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角

(18)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.

(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；

(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.

(19)如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，

且椭圆的离心率e=.

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT.

(20)已知函数f(x)=x+ x，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过(0，0)和(x,f (x))两点的直线平行(如图)

.

求证：当n时，

(Ⅰ)x

(Ⅱ)

(11)设S为等差数列a,的前n项和，若S-10, S=-5,则公差为　　(用数字作答).

(12)对a,bR,记max|a,b|=函数f(x)＝max||x+1|,|x-2||(xR)的最小值是　　.

(13)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若｜a｜=1,则｜a｜+｜c｜的值是　　

(14)正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是　　　.

(1)　 设集合≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=

(A)［0,2］　　　　　　 (B)［1,2］　　　　　　 (C)［0,4］　　　　　　　 (D)［1,4］

(2)　 已知

(A)1+2i　　　　　　 (B) 1-2i　　　　 　　　(C)2+i　　　　　　　 (D)2-I

(3)已知0＜a＜1，logm＜logn＜0，则

(A)1＜n＜m　　　　　　 (B) 1＜m＜n　　　　　　 (C)m＜n＜1　　　　　　　 (D) n＜m＜1

(3)　 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是

(A)　　 　　　　(B)　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(6)函数y=sin2+4sinx,x的值域是

(A)［-,］　　　　　　　　　　　　　　 (B)［-,］　

　(C)［］　　　　　　 　 (D)［］

(7)“a＞b＞c”是“ab＜”的

(A)充分而不必要条件　　　 　　　　　 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件　　　 　　　　　　　(D)既不允分也不必要条件

(8)若多项式

(A)9　　　　　　 (B)10　　　　　 (C)-9　　　　　　 (D)-10

(9)如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是

(A)　　　　　　 　　　　　(B)

(C)　　 　　　　　　　　　 (D)

(10)函数f:|1,2,3||1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有

(A)1个　　　　　　 (B)4个　　　　　 (C)8个　　　　　　 (D)10个

第Ⅱ卷(共100分)

(15)若S是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。

(Ⅰ)求数列的公比。

(Ⅱ)若，求的通项公式.

(16)如图，函数y=2sin(πx+φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0，1).

　(Ⅰ)求φ的值；

(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求

(17)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

(Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角。

(18)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.现从甲，乙两袋中各任取2个球.

(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；

(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.

(19)如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，

且椭圆的离心率e=.

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，求证： 。

(20)设，,f(0)f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)方程 有实根。

　(Ⅱ) -2＜＜-1；

(III)设是方程f(x)=0的两个实根，则.

(11)不等式的解集是　　　　。.

(12)函数y=2sinxcosx-1,x的值域是　　　　　　　

(13)双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则等于　　　　

(14)如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面过棱AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是　　　.

(1)设集合≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=

(A)［0,2］　　　　　　 (B)［1,2］　　　　　　 (C)［0,4］　　　　　　　 (D)［1,4］

(2)在二项式的展开式中，含的项的系数是

(A)15　　　　　　 (B)20　　　　　　 (C)30　　　　　　　 (D)40

(3)抛物线的准线方程是

　(A) 　　　　(B)　 　　　(C) 　　　　　　(D)

(4)已知，则

(A) n＜m ＜ 1　　　 (B) m＜n＜ 1　　　　 (C) 1＜ m＜n　　　　 (D) 1 ＜n＜m

(5)设向量满足,,则

(A)1　　　　　 (B)2　　　　 　　(C)4　　　　　 (D)5

(6)在区间上的最大值是

(A)-2　　　　　 (B)0　　　　　 (C)2　　　　　 (D)4

(7)“a＞0，b＞0”是“ab>0”的

(A)充分而不必要条件　　　 　　　　　 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件　　　　　　　　　　 (D)既不允分也不必要条件

(8)如图，正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF的长是

　(A)2　　　　　 (B)　　　　　 (C) 　　　　　(D)

(9)　　　 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是

(A)　　　　　　 (B)4　　　　　 (C) 　　　　　　(D)2

(10)对a,bR,记max{a,b}=，函数f(x)＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是

(A)0　　　　　　 (B)　　　　　 (C 　　　　　(D)3

第Ⅱ卷(共100分)

(17)(本小题满分13分)

设函数f(x)=cos²cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.

(18)(本小题满分13分)

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5

位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：

(Ⅰ)随机变量ξ的分布列；

(Ⅱ)随机变量ξ的期望.

(19)(本小题满分13分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.

(Ⅰ)试证：CD平面BEF;

(Ⅱ)设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.

(20)(本小题满分13分)

已知函数f(x)=(x²_­­+bx+c)c^x,其中b,cR为常数.　　　　图(19)图

(Ⅰ)若b²＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若b²＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.

(21)(本小题满分12分)

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x²+y_=f(x)-x²+x.

(Ⅰ)若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

(Ⅱ)设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

(22)(本小题满分12分)

已知一列椭圆C_n:x²_­+=1. 0＜b_n＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点P_n使P_n到右准线l_n的距离d.是｜P_nF_n｜与｜P_nC_n｜的等差中项，其中F_n、C_n分别是C_n的左、右焦点.

(Ⅰ)试证：b_n≤　　　　 (n≥1);

(Ⅱ)取b_n＝，并用S_A表示P_nF_nG_n的面积，试证：S₁＜S₁且S_n＜S_n+3 　(n≥3).

图(22)图

(20)(本小题满分13分)

已知函数f(x)=(x²_­­+bx+c)c^x,其中b,cR为常数.

(Ⅰ)若b²＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若b²＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.

(21)(本小题满分12分)

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x²+y_=f(x)-x²+x.

(Ⅰ)若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

(Ⅱ)设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

(22)(本小题满分12分)

已知一列椭圆C_n:x²_­+=1. 0＜b_n＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点P_n使P_n到右准线l_n的距离d.是｜P_nF_n｜与｜P_nC_n｜的等差中项，其中F_n、C_n分别是C_n的左、右焦点.

(Ⅰ)试证：b_n≤　　　　 (n≥1);

(Ⅱ)取b_n＝，并用S_A表示P_nF_nG_n的面积，试证：S₁＜S₁且S_n＜S_n+3 　(n≥3).

图(22)图

(18)(本小题13分)

解法一：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.

由等可能性事件的概率公式得

P(ξ=0)==,　　 P(ξ=1)=

P(ξ=2)= =,　 P(ξ=3)=

P(ξ=4)= =,　 P(ξ=5)=

从而ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P

(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的期望为

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+5×

　 ==.

解法二：(Ⅰ)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.

故ξ－B,即有

P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.

由此计算ξ的分布列如解法一.

解法三：　(Ⅰ)同解法一或解二.

(Ⅱ)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.

即3Eξ=5,从而Eξ=.

(19)(本小题13分)

解法一：

(Ⅰ)证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.

又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别

PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 　　第(19)图1

(Ⅱ)连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因

PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

设AB=a,则在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下计算GH，考察底面的平面图(如答(19)图2).连结GD.

因S_△CBD=BD·GH=GB·OF.

故GH=.

在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a　　　　　第(19)图2

而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得

GH== ＝

因此tanEHG==

由k＞0知是锐角，故要使＞，必须

＞tan=

解之得，k的取值范围为k＞

解法二：

(Ⅰ)如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为

A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　

·=0,故　 .

设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故　　　　 第(19)3

E.从而=.

·=0,故.

由此得CD面BEF.

(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.

从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).

设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即

x-2y=-a　　　 ①

又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即

2x+y=2a　　　 ②

由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.

由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即

＞

故k的取值范围为k＞.

(20)(本小题13分)

解：(Ⅰ)求导得f²(x)=［x²+(b+2)x+b+c］e^x.^.

因b²＞4(c-1),故方程f²(x)=0即x²+(b+2)x+b+c=0有两根；

x₁=－＜x₂=－

令f′(x)＞0，解得x＜x₁或x＞x₁；

又令f′(x)＞0，解得x₁＜x＜x_2.

故当xε(-, x₁)时，f(x)是增函数，当 xε(x_2，+)时，f(x)也是增函数，但当xε(x₁ ， x₂)时，f(x)是减函数.

(Ⅱ)易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此

.

所以，由已知条件得

　　　　　 b+e=4

　　　　　 b²≤4(e-1),

因此b²⁺4b-12≤0.

解得-6≤b≤2.

(21)(本小题12分)

解：(Ⅰ)因为对任意xεR，有f(f(x)- x² + x)=f(x)- x² +x，所以

f(f(2)- 2²+2)=f(2)- 2²+2.

又由f(2)=3，得f(3-2²+2)-3-2²+2，即f(1)=1.

若f(0)=a，则f(a-0²+0)=a-0²+0，即f(a)=a.

(Ⅱ)因为对任意xεR，有f(f(x))- x² +x)=f(x)- x² +x.

又因为有且只有一个实数x₀,使得f(x₀)- x_0.

所以对任意xεR，有f(x)- x² +x= x_0.

在上式中令x= x₀,有f(x₀)-x + x₀₌ x_0,

又因为f(x₀)- x₀，所以x_0- x=0，故x₀₌0或x₀=1.

若x₀=0，则f(x)- x² +x=0，即

f(x)= x² –x.

但方程x² –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x₂≠0.

若x₂=1,则有f(x)- x² +x=1，即f(x)= x² –x+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为

f(x)= x² –x+1(xR).

(22)(本小题12分)

证：(1)由题设及椭圆的几何性质有

　　

　　　　 设

　　　　　

因此，由题意应满足

即

即,

从而对任意

(Ⅱ)设点

　　　　　　　

　　　　　　　

得两极，从而易知f(c)在(，)内是增函数，而在(，1)内是减函数.

　　现在由题设取是增数列.又易知

　　

故由前已证，知

(11)复数复数的值是_________.

　(12)_________.

(13)已知，sin()=－ sin则os=________.

(14)在数列{a_n}中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),则该数列的通项a_n=_________.

(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg^(x2-2n+1)_­ 有最大值.则不等式log_n(x²-5x+7) ＞0的解集为_______.

(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.