16.(本小题满分13分)

已知函数是上的奇函数，当时，取得极值．

(Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)当时，恒成立，求实数的取值范围．

15.(本小题满分12分)已知、、三点的坐标分别为(，，

(，，(，0)．

　　　 (Ⅰ)求向量和向量的坐标；

(Ⅱ)设，求 的最小正周期；

(Ⅲ)求当，时，的最大值及最小值．

19．(本小题满分14分)

　 (Ⅰ)解：因为所以的值域是…………………………2分

设

所以的反函数为……4分

　 (Ⅱ)解：当时，

函数为上的增函数，………………6分

所以

即

解得……………………………………8分

　 (Ⅲ)解：当时，函数是上的增函数，且经过定点(－1，－1).

所以的图象不经过第二象限的充要条件是的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上.　　　 ……………………………………11分

令　 解得

由………………………………14分

18．(本小题满分14分)

　　 (I)解：连接B₁D₁.∵在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁//BB₁，

是异面直线所成的角.……………………2分

即在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE.………………………14分

在，

即异面直线所成角的大小为……………………4分

　 　 (II)证明：　　　　 连接CD₁，与C₁D相交于O，连接EO.

　　　　 ∵CDD₁C₁是矩形，∴O是CD₁的中点，

又E是BC的中点，∴EO∥BD₁.………………2分

又BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE，

∴BD₁∥平面C₁DE.……………………………4分

　 (III)解：过点C作CH⊥DE于H，连接C₁H.

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，

∴C₁H⊥DE，∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角.……………………………………11分

在

在…………………………13分

∴二面角C₁­-DE-C的大小为…………………………14分

17．(本小题满分13分)

　　　 解：记甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为A，B，C，

则

　 (I)解：三台设备都需要维护的概率

……………………………………2分

　　　　　 =(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.85)=0.003.

　　　 答：三台设备都需要维护的概率为0.003.…………………………………4分

(II)解：恰有一台设备需要维护的概率

　　　　 =(1－0.9)×0.8×0.85+0.9×(1－0.8)×0.85+0.9×0.8×(1－0.85)

　　　　 =0.329.

　　 答：恰有一台设备需要维护的概率为0.329.…………………………8分

(III)解：三台设备都不需要维护的概率

　　 ，………………11分

　　 所以至少有一台设备需要维护的概率

　　 答：至少有一台设备需要维护的概率为0.388.……………………13分

16．(本小题满分12分)

　 (I)解：由…………………………………………………………1分

　　　　 得，……………………………………………………3分

　　　　 所以的定义域为.……………………………4分

　 (III)解：因为α是锐角，且，从而，…………5分

　　　　 ，………………………………………………………………8分

　　　　 …………………………………………………………11分

故.………………………………………………12分

15．(本小题满分12分)

　 (Ⅰ)解：

设等差数列

则……………………2分

解得…………………………4分

所以数列的通项为……………………6分

　 (Ⅱ)解：

数列的前n项和…………………………9分

由

即

所以……………………………………12分

19．(本小题满分13分)

　　　 设函数

　 (I)求的反函数；

　 (II)若在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值；

　 (III)若的图象不经过第二象限，求a的取值范围.

18．(本小题13分)

　 　　　 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点.

　 (I)求异面直线AA₁和BD₁所成角的大小；

　 (II)求证：BD₁∥平面C₁DE；

　 (III)求二面角C₁-DE-C的大小.

17．(本小题13分)

　　　 在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85. 则在一天内

　 (I)三台设备都需要维护的概率是多少？

　 (II)恰有一台设备需要维护的概率是多少？

　 (III)至少有一台设备需要维护的概率是多少？