2．公式的变用：

1+cos2α＝　　　　　　 ；

1－cos2α＝　　　　　　 ．

例1. 　求值：

解：原式＝

　 ＝＝

变式训练1：(cos+sin)＝　　 (　 )

A．－　　 B．－　 　　C． 　　　D．

解：D

例2． 已知α为锐角，且，求的值.

解：∵α为锐角

∴＝

＝＝＝

变式训练2：化简：

解：原式＝＝1

例3．已知；

(1) 求的值；　 (2) 设，求sinα的值．

解：(1)∵

∴

(2)

∴

16sin22－4sinα－11＝0　 解得

∵　 故

变式训练3：已知sin()＝，求cos()的值．

解：cos(+2α)＝2cos²(+α)－1

＝2sin²(－α) －1＝－

例4．已知sin² 2α+2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．

解：由已知得

sin²2α+sin2αcosα－2cos²α＝0

即(sin2α+2cosα) (sin2α－cosα)＝0

cos²α(1+sinα) (2sinα－1)＝0

∵α∈(0，)　 cosα≠0　 sinα≠－1

∴2sinα＝1　　 sinα＝　 ∴tanα＝

变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．

解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．

∴β＝2α，r＝4α

∵sinα、sinβ、sinr成等比数列

∴

即，解得cosα＝1或

当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去

当时，∵2∈[0,2π] ∴或

∴或

1．基本公式：

sin2α＝　　　　　　　 ；

cos2α＝　　　 ＝　　　　 ＝　　　　 ；

tan2α＝　　　　　　 .

2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．

第4课时　　 二倍角的正弦、余弦、正切

1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α+β=α+ (α+β)等．

4．常见的角的变换：

2＝(α+β)+(α－β)；α＝+

α＝(α+β)－β ＝(α－β)+β

＝(α－)－(－β)；

＝

例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.

解：原式=

=

=

=

=

=

变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于(　　　 )

A.　　　　　　　 B.7　　　　　　 C.－ 　　　　　D.－7

　(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于　 (　　　 )

A.－　　 B.　　 　C.－　　 　　D.

解：(1)A　　 (2)B

例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(+β)＝，求sin(α+β)的值．

解：∵α－++β＝α+β+

α∈()　 β∈(0,)

∴α－∈(0,)　 β+∈(,π)

∴sin(α－)＝　 cos()＝－

∴sin(α+β)＝－cos[+(α+β)]

＝－cos[(α－)+()]＝

变式训练2：设cos(－)=－，sin(－β)=，且＜＜π，0＜β＜，

求cos(+β).

解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.

故由cos(－)=－，得sin(α－)=.

由sin(－β)=，得cos(－β)=.∴cos=cos［(－)－(－β)］==

∴cos(+β)=2cos²－1=-1=－.

例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.

解　 ∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，

∴cosA=-=-=-，

cosB=-=-=-，

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

=×-×=　　 ①

又∵＜A＜, ＜B＜,

∴＜A+B＜2　 　　 　　 ②

由①②知，A+B=.

变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin²-cos2B=,求角B的度数.

解 　在△ABC中，A+B+C=180°,

由4sin²-cos2B=,

得4·-2cos²B+1=,

所以4cos²B-4cosB+1=0.

于是cosB=,B=60°.

例4．化简sin²·sin²+cos²cos²-cos2·cos2.

解　 方法一 　(复角→单角，从“角”入手)

原式=sin²·sin²+cos²·cos²-·(2cos²-1)·(2cos²-1)

=sin²·sin²+cos²·cos²-(4cos²·cos²-2cos²-2cos²+1)

=sin²·sin²-cos²·cos²+cos²+cos²-

=sin²·sin²+cos²·sin²+cos²-

=sin²+cos²-=1-=.

方法二 　(从“名”入手，异名化同名)

原式=sin²·sin²+(1-sin²)·cos²-cos2·cos2

=cos²-sin² (cos²-sin²)-cos2·cos2

=cos²-sin²·cos2-cos2·cos2

=cos²-cos2·

=-cos2·

=-cos2=.

方法三　 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)

原式=·+·-cos2·cos2

=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.

方法四　 (从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)

原式=(sin·sin-cos·cos)²+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2

=cos²(+)+sin2·sin2-cos2·cos2

=cos²(+)-·cos(2+2)

=cos²(+)- ·［2cos²(+)-1］=.

变式训练4：化简：(1)sin+cos;

(2).

解　 (1)原式=2

=2

=2cos=2cos(x-).

(2)原式===1.

3．公式的变式

tanα+tanβ＝tan (α+β)(1－tanα tanβ)

1－tanα tanβ＝

2．基本公式

sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ

cos(α±β)＝　　　　　　　　　 ;

tan(α±β)＝　　　　　　　 　　.

1．两角和的余弦公式的推导方法：

2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.

第3课时 　　　　两角和与差的三角函数

1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式(如例1)，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式(如例2)，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.