1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.

9.如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角.

解：取BC的中点E，连结EN、EM，

∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角.

在△EMN中，EN==3，EM==5，MN=7，cos∠MEN=－，∴∠MEN=120°.

∴异面直线AC与BD所成的角是60°.

●思悟小结

8.如下图，设△ABC和△A₁B₁C₁的三对对应顶点的连线AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，且=== .试求的值.

解：依题意，因为AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，且==，所以AB∥A₁B₁，AC∥A₁C₁，BC∥B₁C₁.由平移角定理得∠BAC=∠B₁A₁C₁，∠ABC=∠A₁B₁C₁，△ABC∽

△A₁B₁C₁，所以=()²=.

说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.

探究创新

7.如下图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PE∶EC=AF∶FB=3∶2.

(1)求证：PA⊥BC；

(2)设EF与PA、BC所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°.

证明：(1)取BC的中点D，连结AD、PD.

则BC⊥平面ADP，AP平面ADP，

∴AP⊥BC.

(2)在AC上取点G，使AG∶GC=3∶2，连结EG、FG，则EG∥PA，FG∥BC，从而∠EGF为PA与BC所成的角，由(1)知∠EGF=90°，而∠GEF、∠GFE分别是EF与PA、EF与BC所成的角α、β，∴α+β=90°.

6.在三棱锥A-BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角.

解：取AC的中点M，连结ME、MF，则ME∥BC，MF∥AD，所以∠EMF(或其补角)是直线AD与BC所成的角.在△EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cos∠EMF=

=－，∠EMF=120°，因此异面直线AD与BC所成的角为60°.

培养能力

5.如下图，设不全等的△ABC与△A₁B₁C₁不在同一平面内，且AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，CA∥C₁A₁.

求证：AA₁、BB₁、CC₁三线共点.

证明：不妨设AB≠A₁B₁，AA₁∩BB₁=S，∵BC∥B₁C₁，∴BB₁面BCC₁B₁，S∈面BBC₁B₁.同理，S∈面ACC₁A₁.∴S∈CC₁，即AA₁、BB₁、CC₁三线共点于S.

4.(2003年上海)在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_____________.(结果用反三角函数值表示)

答案：arctan2

3.如下图，四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于_____________.

解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG=.

由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG.

在Rt△EFG中，求得∠GEF=30°，即为EF与CD所成的角.

答案：30°

2.(2004年天津，6)如下图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于

A. 　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　　　 D.

解法一：取面CC₁D₁D的中心为H，连结FH、D₁H.在△FHD₁中，

FD₁=，FH=，D₁H=.

由余弦定理，得∠D₁FH的余弦值为.

解法二：取BC的中点G.连结GC₁∥FD₁，再取GC的中点H，连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角.

在△OEH中，OE=，HE=，OH=.

由余弦定理，可得cos∠OEH=.

答案：B

1.两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l和m中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的

A.充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.非充分非必要条件

解析：若l和m中至少有一条与β相交，不妨设l∩β=A，则由于lα，∴A∈α.而A∈β，∴α与β相交.反之，若α∩β=a，如果l和m都不与β相交，由于它们都不在平面β内，

∴l∥β且m∥β.∴l∥a且m∥a，进而得到l∥m，与已知l、m是相交直线矛盾.因此l和m中至少有一条与β相交.

答案：C