4.注意“1”的灵活代换，如1=sin²α+cos²α=sec²α－tan²α=csc²α－cot²α=tanα·cotα.

3.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.

2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.

1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念.

10.是否存在α、β，α∈(－，)，β∈(0，π)使等式sin(3π－α)=cos(－β)，cos(－α)=－cos(π+β)同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.

解：由条件得

①²+②²得sin²α+3cos²α=2，∴cos²α=.

∵α∈(－，)，

∴α=或α=－.

将α=代入②得cosβ=.又β∈(0，π)，

∴β=，代入①可知，符合.

将α=－代入②得β=，代入①可知，不符合.

综上可知α=，β=.

●思悟小结

9.设α∈(0，)，试证明：sinα＜α＜tanα.

证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点.

∵S_△OPA＜S_扇形OPA＜S_△OAT，

∴|MP|＜α＜|AT|.

∴sinα＜α＜tanα.

探究创新

8.已知sinθ=，cosθ=，若θ是第二象限角，求实数a的值.

解：依题意得

解得a=或a=1(舍去).

故实数a=.

7.(2005年北京东城区模拟题)已知tan(+α)=2，求：

(1)tanα的值；

(2)sin2α+sin²α+cos2α的值.

(1)解：tan(+α)==2，∴tanα=.

(2)解法一：sin2α+sin²α+cos2α=sin2α+sin²α+cos²α－sin²α

=2sinαcosα+cos²α

==

==.

解法二：sin2α+sin²α+cos2α=sin2α+sin²α+cos²α－sin²α

=2sinαcosα+cos²α.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∵tanα=，

∴α为第一象限或第三象限角.

当α为第一象限角时，sinα=，cosα=，代入①得

2sinαcosα+cos²α=；

当α为第三象限角时，sinα=－，cosα=－，代入①得

2sinαcosα+cos²α=.

综上所述sin2α+sin²α+cos2α=.

6.化简(k∈Z).

解：当k=2n(n∈Z)时，

原式=

==－1.

当k=2n+1(n∈Z)时，

原式=

==－1.

综上结论，原式=－1.

培养能力

5.若sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0，

化简+.

解：由所给条件知α是第二象限角，则是第一或第三象限角.

原式==

=