5.化简.

解：原式=

=

=

===tan.

4.若tanx=，则=_______.

解析：原式=====2－3.

答案：2－3

3.若8cos(+α)cos(－α)=1，则sin⁴α+cos⁴α=_______.

解析：由已知得8sin(－α)cos(－α)=1，

∴4sin(－2α)=1.∴cos2α=.

sin⁴α+cos⁴α=(sin²α+cos²α)²－2sin²αcos²α=1－sin²2α=1－(1－cos²2α)

=1－(1－)=1－×=.

答案：

2.(2005年春季上海，14)在△ABC中，若==，则△ABC是

A.直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.等边三角形

C.钝角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.等腰直角三角形

解析：由=，得=.

又=，∴=.

∴=.∴sinAcosB=cosAsinB，

sin(A－B)=0，A=B.同理B=C.

∴△ABC是等边三角形.

答案：B

1.已知f(x)=，当θ∈(，)时，f(sin2θ)－f(－sin2θ)可化简为

A.2sinθ　　　　　　　　　　　 B.－2cosθ　　　　　　　　　 C.－2sinθ　　　　　　　　　 D.2cosθ

解析：f(sin2θ)－f(－sin2θ)=－=｜sinθ－cosθ｜－｜sinθ+

cosθ｜.

∵θ∈(，)，

∴－1＜sinθ＜－＜cosθ＜0.

∴cosθ－sinθ＞0，cosθ+sinθ＜0.

∴原式=cosθ－sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ.

答案：D

5.(2005年春季北京，11)已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.

解析：由sin+cos=，得

1+sinθ=，sinθ=，

cos2θ=1－2sin²θ=1－2·=.

答案：　

●典例剖析

[例1] 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？

剖析：注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.

解：令t=sinx+cosx=sin(x+)∈［－，］，则y=t²+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，则t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3.

评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.

[例2] 已知sin(x－)cos(x－)=－，求cos4x的值.

剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.

解：由已知得sin(x－－)cos(x－)=－，

∴cos²(x－)=.

∴sin2x=cos(－2x)=2cos²(－x)－1=－.

∴cos4x=1－2sin²2x=1－=－.

[例3] 已知α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.

解：由cos+sin=－平方得

1+2sincos=，

即sinα=，cosα=－.

此时kπ+＜＜kπ+.

∵cos+sin=－＜0，

sincos=＞0，

∴cos＜0，sin＜0.

∴为第三象限角.

∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.

∴sin＜cos，

即sin－cos＜0.

∴sin－cos=－=－，

sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin²α=.

评述：由三角函数值判断的范围是关键.

●闯关训练

夯实基础

4.(2005年春季上海，13)若cosα=，且α∈(0，)，则tan=____________.

解析一：由cosα=，α∈(0，)，得sinα==，

tan=====.

解析二：tan===.

答案：

3.若f(tanx)=sin2x，则f(－1)的值是

A.－sin2　　　　　　　　　　　 B.－1　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.1

解析：f(－1)=f［tan(－)］=－sin=－1.

答案：B

2.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a、b、c的大小关系是

A.a＜b＜c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a＜c＜b

C.b＜c＜a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.b＜a＜c

解析：a=sin59°，c=sin60°，b=sin61°，∴a＜c＜b.

答案：B

1.下列各式中，值为的是

A.sin15°cos15°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2cos²－1

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：=tan45°=.

答案：D