2．若奇函数f(x)＝ka^x－a^x(a＞0且a≠1)在R上是增函数，则g(x)＝log_a()的大致图象是(　)

　　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

1．若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且均存在反函数，则函数f[g(x)]的反函数为(　)

　A．f^－1[g^－1(x)]　　　 B．f^－1[g(x)]　　　　　　　　 C．g^－1[f^－1(x)]　　　　　　　 D．g^－1[f(x)]

(17) (本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．(I)求∠B的范围；(II)求y＝2sin²B+sin(2B+)的取值范围．

解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b²＝ac．

根据余弦定理，得cosB＝＝≥＝．

又因为0＜B＜，所以0＜B≤．

所以∠B的范围是(0，]．

(2)y＝2sin²B+sin(2B+)＝1－cos2B+sin2Bcos+cos2Bsin

＝1+sin2Bcos－cos2Bsin＝1+sin(2B－)．

因为0＜B≤，所以－＜2B－≤，所以－＜sin(2B－)≤1，所以＜y≤2．

所以y＝2sin²B+sin(2B+)的取值范围是(，2]．

(18)(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD的中点．

(I)求证：EF⊥面BCD；

(II)求多面体ABCDE的体积；

(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

解：(I)取BC中点G，连FG，AG．

因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．

又AGÌ面ABC，所以BD⊥AG．

又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．

又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．

又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD．

(II)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．

又BD∥AE，所以BD与AE共面．

又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．

所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．

故四棱锥C－ABDE的体积为V_C－ABDE＝S_ABDE·CH＝[(1+2)×2×]＝．

(III)过C作CK⊥DE于K，连接KH．

由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C－DE－B的平面角．

易知EC＝，DE＝，CD＝2．

由S_△DCE＝×2×＝×CK，可得CK＝．

在Rt△CHK中，sin∠HKC＝＝，所以cos∠HKC＝，

所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为．

(19)(本小题满分14分)某空调器厂为了规范其生产的空调器的市场营销，在一个地区指定一家总经销商，规定经总销商之间不得“串货”(即一个地区的总经销商不得向其他地区销售该品牌空调器)．经空调器厂和各地区总经销商联合市场调查，预计今年的七月份(销售旺季)，市场将需求售价为1800元/台的P型空调器200万台，但该厂的生产能力只有150万台．为了获得足够的资金组织生产，该空调器厂规定，每年的销售旺季前预付货款的总经销商在旺季将获得供货优待．以东部地区为例，今年的7月份市场将需求P型空调器10万台，如果东部地区的总经销商在2月1日将10万台P型空调器的货款全部付清，空调器厂按1500元/台的价格收取货款，并在7月1日保证供货；每推迟一个月打入货款，每台空调器的价格将增加6元，并且供货量将减少2%．已知银行的月利率为0.5%．

(I)就P型空调器的进货单价而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？

(II)就东部地区经销P型空调器而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？

(III)东部地区的小王7月1日用分期付款的方式购买了1台P型空调器，如果采用每月“等额还款”的方式从7月1日开始分6次付清，小王每一次的付款额约是多少？

(以下数据仅供参考：1.005⁴＝1.020151，1.005⁵＝1.025251，1.005⁶＝1.030378，0.98⁵＝0.903921，0.98⁶＝0.885842，0.98⁷＝0.868126)

解　 (I)2月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500元；7月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500+5×6＝1530(元)．

由于1500×(1+0.5%)⁵＝1500×1.025251≈1537.88＞1530，

所以，就P型空调器的进货单价而言，经销商在7月1日打入货款划算．

(II)2月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的利润是100000×(1800－1537.88)＝26212000(元)；

7月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的台数是100000×(1－2%)⁵＝90392.1≈90392，

利润为90392×(1800－1530)＝24405840(元)．

由于24405840＜26212000，所以，就东部地区经销P型空调器而言，在2月1日打入货款最划算．

(III)设小王每个月的还款数额为x元，

则(1+1.005+1.005²+1.005³+1.005⁴)x＝(1800－x)×1.005⁵，

即　 x＝1800×1.005⁵，

解得x＝＝＝303.75(元)．

答：小王每一次的付款额约是303.75元．

(20)(本小题满分14分)设椭圆+＝1(a＞b＞0)的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．

(I)若∠AF₁F₂＝α，∠AF₂F₁＝β，试用α，β表示椭圆的离心率e；

(II)设→＝λ₁→，→＝λ₂→，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

解：(I)设F₁(－c，0)，F₂(c，0)．在△AF₁F₂中，由正弦定理得

＝＝，

即 　　　　|AF₁|＝，|AF₂|＝，

所以　　　 2a＝|AF₁|+|AF₂|＝+

＝2c(+)＝2c·，

得　　　　　　　　　　　　 e＝．

(II)设A(x₀，y₀)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)．

①当y₀＝0时，λ₁+λ₂＝2＝；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂＝．

②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y＝(x－c)，

由消x得[b²(x₀－c)²+a²y]y²+2b²y₀(x₀－c)y+c²b²y－a²b²y＝0．

由韦达定理得　 y₂y₀＝，

所以　　　　　 y₂＝，

所以　　　　　 λ₂＝＝－＝－ ，

同理可得　　 　λ₁＝＝－＝－，

故　　　　　　 λ₁+λ₂＝－[+]

＝－＝＝＝，

综上可知　　　　　 λ₁+λ₂＝．

(21)(本小题满分16分)设函数f(x)＝x³+x²+x+5(a，b∈R，a＞0)的定义域为R．当x＝x₁时取得极大值，当x＝x₂时取得极小值．

(I)若x₁＜2＜x₂＜4，求证：函数g(x)＝ax²+bx+1在区间(－∞，－1]上是单调减函数；

(II)若|x₁|＜2，|x₁－x₂|＝4，求实数b的取值范围．

解法一　 f '(x)＝ax²+(b－1)x+1．

因为f(x)当x＝x₁时取得极大值，当x＝x₂时取得极小值．

所以f '(x)＝ax²+(b－1)x+1＝0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂．

(Ⅰ)由题知，f '(x)＝0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，

当且仅当

所以16a+4b＞3＞3(4a+2b)，得－＞－1．

因为函数g(x)＝ax²+bx+1在区间(－∞，－)上是单调减函数，

所以函数g(x)＝ax²+bx+1在区间(－∞，－1]上是单调减函数；

(Ⅱ)因为方程ax²+(b－1)x+1＝0的两个根x₁，x₂(x₁＜x₂)，且x₁·x₂＝＞0，所以x₁，x₂同号．

又|x₁－x₂|＝＝4，所以(b－1)²＝16a²+4a．③

若－2＜x₁＜0，则－2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁－x₂|＜2，与|x₁－x₂|＝4矛盾，

所以0＜x₁＜2，则所以4a+1＜2(1－b)，

结合③得(4a+1)²＜4(1－b)²＝4(16a²+4a)，解得a＞或－a＜．结合a＞0，得a＞．

所以2(1－b)＞4a+1＞，得b＜．

所以实数b的取值范围是(－∞，)．

解法二　 f'(x)＝ax²+(b－1)x+1．

(Ⅰ)由题知，f'(x)＝0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，

当且仅当

由①得，－b＞2a－．

因为a＞0，所以－＞1－．③

由结合③，得－＞－1．

因为函数g(x)＝ax²+bx+1在区间(－∞，－)上是单调减函数，

所以函数g(x)＝ax²+bx+1在区间(－∞，－1)上是单调减函数；

(Ⅱ)因为x₁·x₂＝＞0，所以x₁，x₂同号．

由|x₁|＜2，得－2＜x₁＜2．

若－2＜x₁＜0，则－2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁－x₂|＜2，与|x₁－x₂|＝4矛盾，

所以0＜x₁＜2，则x₂＞4．

所以得b＜．

又因为|x₁－x₂|＝＝4，所以(b－1)²＝16a²+4a．

根据④⑤得得结合b＜，得b＜；

所以实数b的取值范围是(－∞，)．

(11)在(1－)¹⁵的展开式中，系数最大的项是第　　 9　　　 项．

(12)设{a_n}为等差数列，从{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有　　 24　　　 个．

(13)已知命题p：不等式|x－m|+|x－1|＞1的解集为R，命题q：f(x)＝log_(3+m)x是(0，+∞)上的增函数．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则实数m的取值范围是 (－3，－2)∪ [0，2]　 　．

(14)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m+n的值是　 　 ．

(15)如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于　 60^o　 ．

(16)有下列命题：

①G＝(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；

②若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin(α+β)＝0；

③若不等式|x－4|+|x－3|＜a的解集非空，则必有a≥1；

④函数y=sinx+sin|x|的值域是［－2，2］．

其中正确命题的序号是　 ①②③④　 ．(把你认为正确的命题的序号都填上)

(1)设集合M＝{θ|θ＝，k∈Z}，N＝{x|cos2x＝0，x∈R}，P＝{α|sin2α＝1，α∈R}，则下列关系式中成立的是中国数学教育网　 　　 　　　　　　　　　　　　　( A )

(A)P,\d\fo0 ((N,\d\fo0 ((M　　　 　　(B)P＝N,\d\fo0 ((M　　 　　　(C)P,\d\fo0 ((N＝M　　 　　(D)P＝N＝M

(2)下列四个函数中，值域是(－∞，－2]的一个函数是 　　　　　　　　　　　　　( D )

(A)y＝－2x+1(x＞)　　　　　　　　　　　 　　(B)y＝－(x+1)²－2(－1≤x≤0)

(C)y＝x+(x＜－1)　　　　　　　　　　　 　　(D)y＝log_0.5(x++1)(x＞1)

(3)若实数m，n满足＜＜0，则下列结论中不正确的是　　　　　　　　　　　　　　 ( D )

(A)m²＜n²　　　　　 　(B)mn＜n²　　　 　　　(C)+＞2　　　　　 (D)|m|+|n|＞|m+n|

(4)要得到函数y＝cot(－3x)的图象，可将y＝tan3x的图象　　　　　 　　　　　　　( B )

(A)向右平移个单位　 (B)向左平移个单位　 (C)向右平移个单位 　(D)向左平移个单位

(5)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要不充分条件是　　　 　　　　　　　( D )

(A)m∥α，n∥α　　 　(B)m⊥α，n⊥α　　 　(C)m∥α，nα　 　(D)m，n与α所成角相等

(6)已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60^o，则直线xcosα－ysinα+1＝0与圆(x－cosβ)²+(y+sinβ)²＝1的位置关系是　　　　　　　　　　　　 　　　( C )

(A)相切　　　　　 　(B)相交　　　　　 　　　(C)相离　　　　 　　　(D)随α，β的值而定

(7)已知x，y满足约束条件则z＝2x+4y的最小值为 　　　　　　　　　( D )

(A)10　　　　　　　 (B)－10　　　　　　　 (C)6　　　　　　　　 (D)－6

(8)进入21世纪，肉食品市场对家禽的需求量大增，发展家禽养殖业成了我国一些地区发展农村经济的一个新举措．下列两图是某县2000-2005年家禽养殖业发展规模的统计结果，那么，此县家禽养殖数最多的年份是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　( B )

(A)2000年　　　　　 (B)2001年　　　　　　 (C)2003年　　　　　　 (D)2004年

(9)已知椭圆+＝1上有n个不同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n．设椭圆的右焦点为F，数列{|P_nF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　( B )

(A)2007　　　　 　　(B)2006　　　 　　　　(C)1004　　　　 　　　　(D)1003

(10)以正方体ABCD－A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　( D)

(A)　　　　 　　　(B)　　　　　 　　　(C)　　　　　　　 　　(D)

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

(19) (本小题满分12分)

设函数，其中向量，．

(Ⅰ)求函数的单调减区间；

(Ⅱ)若，求函数的值域；

(Ⅲ)若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值．

(20) (本小题满分12分)

在中，．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)当的面积最大时，求的大小．

(21) (本小题满分14分)

设函数．

(Ⅰ)若，证明函数有两个不同的极值点，并且；

(Ⅱ)若，且当时，恒成立，求的取值范围．

(22) (本小题满分14分)

某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：

假定每月初可以和电信部门约定上网方案．

(Ⅰ)若某用户每月上网时间为66小时，应选择　 　　▲　 　　方案最合算；

(Ⅱ)王先生因工作需要在家上网，所在公司预测其一年内每月的上网时间(小时)与月份的函数关系为．若公司能报销王先生全年上网费用，问公司最少会为此花费多少元？

(Ⅲ)一年后，因公司业务变化，王先生每月的上网时间(小时)与月份的函数关系为．假设王先生退休前一直从事此项业务，公司在花费尽量少的前提下，除为其报销每月的基本费用外，对于所有的超时费用，公司考虑一次性给予补贴元，试确定最合理的的值，并说明理由．

(23) (本小题满分14分)

已知函数，并且，，．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)是否存在各项均不为零的数列，满足(为数列的前项和)．若有，写出数列的一个通项公式，并说明满足条件的数列是否唯一确定；若无，请说明理由．

江苏省苏州市部分重点中学2006届高三期中考试试卷

(13) 若，则　 　　▲　 　　．

(14) 函数在区间上的最大值为　 　　▲　 　　．

(15) 已知平面向量，若，则实数　 　　▲　 　　．

(16) 已知集合，，若，则实数的取值范围是 　 　　▲　 　　．

(17) 已知分别是关于的二次方程的两实根的等差中项和等比中项，则满足的关系式为　 　　▲　 　　．

(18) 若为的各位数字之和．如：因为，所以．记，，……，，，则＝　 　　▲　 　　．

　　 (1)已知平面向量，，且，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　　 D．4

　　 (2)已知集合，，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．

　　 (3)已知函数，则下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．是周期为1的奇函数　　　　　　　　　　　　 B．是周期为2的偶函数

C．是周期为1的非奇非偶函数　　　　　　　 D．是周期为2的非奇非偶函数

　　 (4)设等差数列的前项和为，若，则等于　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．18　　　　　　　　　　　　　 B．36　　　　　　　　　　　　　 C．45　　　　　　　　　　　　　 D．60

　　 (5)函数的反函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．在上单调递增　　　　　　　　　　　　　　 B．在上单调递减

C．在上单调递增　　　　　　　　　　　　　　　　 D．在上单调递减

　　 (6)设均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

　　 (7)命题：是的充分不必要条件； 命题：在中，如果，那么为直角三角形．则　　　　　　　　 (　　　　 )

A．“或”为假　　 B．“且”为真　　 C．假真　　　　　　　　 D．真假

　　 (8)设函数，则当时，的值应为　　　　　　　 (　　　　 )

A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 C．中的较小数　　　 D．中的较大数

　　 (9)函数的图象的大致形状是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A　　　　　　　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　　　　　　　 D

(10)在中，，则边上的高为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　　 D．

(11)已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则＝　　　　　　 (　　　　 )

A．2　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　　　 D．

(12)为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：

则7月份该产品的市场收购价格应为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A．69元　　　　　　　　　　 B．70元　　　　　　　　　　　 C．71元　　　　　　　　　　　 D．72元

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

19．直线经过抛物线的焦点，且与准线成30角，则直线的斜截式方程是

18．已知双曲线：，给出以下四个命题：

①　　 双曲线的渐近线方程是；

②　　 直线与双曲线只有一个交点；

③　　 将双曲线向左平移一个单位，并向上平移两个单位，可以得到双曲线；

④　　 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3。

其中所有正确命题的序号是