2. 求过圆锥曲线焦点的弦

　　 圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

　　 例3　　 如图1，、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，则_______________。

　　 解：由定义可知，

　　　　 ，

　　　　 则。

　　　　 又由图可知，

　　　　 因此。

　　　 注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果。

1. 求直线与圆的相交弦

　　 因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一，可用下面的方法，使运算简单。

　　 设直线方程为，圆的方程为，圆心为，直线与圆相交于A、B，圆心到直线的距离为，则。

　　 例2　　 求圆截得直线的线段长。

　　 解：由原方程得，圆心为(-1，-2)，则

，从而截得线段长。

　　 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：

　　 把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则

。记住了结果 ，在计算中，直接代，就能减少配方、开方等运算过程。

　　 例1　　 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。

　　 解：把代入椭圆方程得到。

　　 ，

　　 则。

　　 近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长。若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。

　　 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

　 例7. 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。

　　 解：设所求圆的方程为：

　　 即，

　　 其圆心为C()

　　 又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。

　　 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

　　 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

　　 例5. 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

　　 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。

　　 由方程组消去后得

　　 由，得　　　　　　 (1)

　　 又P、Q在直线上，

　　 把(1)代入，得，

　　 即

　　 化简后，得

　　 　　　　(4)

　　 由，得

　　 把(2)代入，得，解得或

　　 代入(4)后，解得或

　　 由，得。

　　 所求椭圆方程为

　　 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

　 例6. 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则

　　 解：设A()，B()则M()

　　 又A、B分别在上，则有

　　 由得，

　　 即，

　　 评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。

　　 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

　 例1. 已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。

　 　解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。

　　 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A(2，2)和B(8，8)为直径端点的圆，其方程为

　　 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。

　 例2. 已知点P(5，0)和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。

　　 解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，，即，所以所求的轨迹方程为

　 　评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

　 例3. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。

　　 解：因圆心在直线上，故可设圆心

　　 又圆与轴相切，，

　　 此时可设圆方程为

　　 (运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。)

　 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。

　　 弦心距

　　 ，解得

　　 当时，，圆方程为

　 当时，，圆方程为

　　 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。

　 例4. 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

　　 解： 圆过原点，并且，

　　 是圆的直径，圆心的坐标为

　　 又在直线上，

　　 即为所求。

　　 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

　 　在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。

　 基本知识点：

　　 (1)求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。

　　 (2)注意韦达定理的应用。

　　 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)则

　　 (3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。

　　 (4)有关中点弦问题

　　 <1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。

　　 <2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。

　　 (5)有关圆锥曲线的对称问题

这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=±x+b对称。

　　 (6)圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。

　　 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

　　 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

[例题选讲]

　 例1. 已知抛物线y²=2px(p>0)。过动点M(a，0)且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B

　　 (2)若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。

　　 解：

　　 (2)设Q(x₃，y₃)由中点坐标公式得

　　 又三角形MNQ为等腰直角三角形

　 例2. 线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。(2000年，全国高考)

　 　解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

h是梯形的高。

　　 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为

　　 由点C、E在双曲线上，得

　　 小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言，可从对称的角度去考虑。

　 例3.

　　 (1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点

　　 (2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

　　 值范围。(1997年·上海高考)

　　 (1)证明：抛物线的准线为

　　 由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得

　　 故直线与抛物线总有两个交点。

　　 (2)解：设点A(x₁，y₁)，点B(x₂，y₂)

　　 (3)解：

　 例4.

　　 (1)求椭圆方程；

　　 (2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

　　 (1)解：

　　 把(2)代入(1)式中得：

　 例5. 点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，-1)，且椭圆的离心率e与双曲线离心率e₁之间满足ee₁=1，

　　 (1)求椭圆E的离心率e；

　　 (2)求双曲线C的方程。

　　 解：(1)因为点M(2，1)，点N(4，-1)

　　 (2)因为ee₁=1

　　 设双曲线C上一点P(x，y)

　　 化简得双曲线C的方程：

　 例6. 已知抛物线y²=x上有一条长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离。

　　 解：设中点M的坐标为(x，y)，利用对称性可设A(x+u，y+v)，B(x-u，y-v)，依题意有

　　 将(4)(5)代入(3)得：

　　 此即M点的方程

　　 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理。

　　 例6　　 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

　　 (1)求的取值范围；

　　 (2)直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

　　 分析：(1)直线代入抛物线方程得，

　　 由，得。

　　 (2)由上面方程得，

　　 ，焦点为。

　　 由，得，或

　　 。

　　 例7　　 经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。

　　 分析：左焦点F(1,0)， 直线y=kx代入椭圆得，

　　 ，

　　 。

　　 由AF知。将上述三式代入得，或。