19．解：⑴解法(一)(1)以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系0－xyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，

　　　 A₁(2，0，4)，D₁(0，0，4)，C₁(0，2，4)，B₁(2，2，4)，

　　　 设E(0，2，t)，则∵

　　　 且

　　　 (2)设A₁C∩平面BDE=K，

　　　 设A₁C∩平面BDE=K，

　　　 …①

　　　 同理有…②

　　　 由①，②联立解得

　　　 即所求角的正弦值是

解法(二)(1)证明：连AC交BD于点O，由正四棱柱性质可知AA₁⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴A₁C⊥BD

　　　 又∵A₁B⊥侧面BC₁且B₁C⊥BE， ∴A₁C⊥BE，

　　　 ∵BD∩BE=B， ∴A₁C⊥平面BDE

　　　 (2)解：设A₁C交平面BDE于点K，连BK，

　　　 则∠A₁BK为A₁B与平面BDE所成的角，

　　　 ∵在侧面BC₁中BE⊥B₁C，∴△BCE∽△B₁BC，

　　　 连结OE，则OE为平面ACC₁A₁与平面DBE的交线，

　　　 即为A₁B与平面BDE所成的角的正弦值.

　　　　　　　 由

　　　　　　　 所以

　　　　　　　 因为

　　　　　　　 所以

　　 ⑵作

　　　　　　　 所以

　　　　　　　 所以θ=即平面BEF和平面BCD所成的角为

18．解：⑴设正三棱柱的高为h，由AB=2及正三棱柱的性质知

B

　　　 　　 又，

　　　 　　 即

　　　　 ，则正三棱柱的侧棱长为.

⑵连结AC₁，∵点M是BC₁的中点

⑶

，

而

∴异面直线AB₁与BC所成角的余弦值为．

22．(本题14分)如图直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.

⑴求的大小(用反三角函数表示)；

⑵设

　　　 ①

　　　 ②OA与平面SBC的夹角(用反三角函数表示)；

　　　 ③O到平面SBC的距离.

⑶设

　　　 ①　　　　　　 .　

　　　 ②异面直线SC、OB的距离为 　　　　　　　　.(注：⑶只要求写出答案)

高三单元试题之十：空间向量参考答案

21．(本题12分)棱长为a的正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x(0≤x≤a).以O为原点，直线OA、OC、OO₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图.

⑴求证：A₁F⊥C₁E；

⑵当△BEF的面积取得最大值时，求二面角B₁-EF-B的大小.

20．(本题12分)．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.

⑴求CD的长度；

⑵求CD与平面所成的角

19．(本题12分)如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F.

⑴求证：A₁C⊥平面BED；

⑵求A₁B与平面BDE所成的角的正弦值.

18．(本题12分)已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，点O、O₁分别是边AC，A₁C₁的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

⑴求正三棱柱的侧棱长.

⑵若M为BC₁的中点，试用基向量、、表示向量；

⑶求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值．.

17．(本题12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点。

⑴求证：平面BEF⊥平面ABC；

⑵求平面BEF和平面BCD所成的角.

16．设A(1，2，－1)，B(0，3，1)，C(－2，1，2)是平行四边形的三个顶点，则此平行四边形的面积为　　　　　　　　　　　 ．

15．设向量a＝(1，－2，2)，b＝(－3，x，4)，已知a在b上的射影是1，则x＝　　　　 ．