这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

　 例3　 已知是定义在()上的偶函数，且在(0，1)上为增函数，满足，试确定的取值范围。

　　 解：是偶函数，且在(0，1)上是增函数，

　　 在上是减函数，

　　 由得。

　　 (1)当时，

　　 ，不等式不成立。

　　 (2)当时，

　　 (3)当时，

　　 综上所述，所求的取值范围是。

　 例4　 已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。

　　 解：

　　 对恒成立

　　 对恒成立

　　 对恒成立，

　　 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

　 例1　 定义在R上的函数满足：且，求的值。

　　 解：由，

　　 以代入，有，

　　 为奇函数且有

　　 又由

　　 故是周期为8的周期函数，

　 例2　 已知函数对任意实数都有，且当时，

，求在上的值域。

　　 解：设

　　 且，

　　 则，

　　 由条件当时，

　　 又

　　 为增函数，

　　 令，则

　　 又令　

　　 得

　　 ，

　　 故为奇函数，

　　 ，

　　 上的值域为

1． 　　2． 　　3．存在常数a=3,b=11,c=10 　　　 4． 　　5． 　　6． 　　7．选用圆的参数方程： 　　最小值为20，此时点P坐标为 　　8．

1．函数 在一个周期内，当 时，y有最大值1，当 时，y有最小值–3，求函数解析式． 　　2．已知二次函数，满足，，求f(-2)的取值范围． 　　3．是否存在常数a,b,c使得等式 　　 　　对于一切自然数n都成立？并证明． 　　4．已知 ，试求a的取值范围，使 ． 　　5．已知关于x的二次函数 在区间 内单调递增，求a的取值范围． 　　6．已知两点P(-2,2)，Q(0,2)以及直线L∶y=x，设弦长为 的线段AB在直线L上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程． 　　7．已知两定点A(-1,0)、B(1,0)，P是圆C： 上任意一点，求使 的最小值及相应的点P坐标． 　　8．过椭圆 的一个焦点F₁作一直线交椭圆于M,N两点，设 ，问α取何值时，|MN|等于椭圆短轴的长．

1．待定系数法 　　待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法． 　　待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一．要判断一个数学问题能否使用待定系数法求解，关键是要看所求数学问题的结果是否具有某种确定的数学表达式，如果具有确定的数学表达式，就可以使用待定系数法求解． 　　(1)用待定系数法求函数的解析式或数列的通项公式 　　例1． ，当x ∈(-2,6)时，f(x)>0当 　　 时，f(x)<0 　　　 求a、b及f(x) 　　　 解　 当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f(x)的草图．如图所示

　 　　由图知，x=-2和x=6是方程 的两根，a<0利用一元二次方程的根与系数的关系，得： 　　　　 解得 　　∴ 　　　 例2．已知函数 是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，并且x>0时，f(x)的递增区间 　　求函数f(x)的解析式． 　　解 ∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x) 　　　 即 ，从而求得c=0 　　　 ∵a>0,b>0,当x>0时， 　　 　　当且仅当 ，即 时取等号． 　　即当 时，f(x)取最小值 ，得a=b² 　　　 ∵x>0时，f(x)的递增区间是 ，故 时，f(x)取得最小值 　　∴ ，故a=4，从而b=2 　　　 ∴ ． 　　注：本题给出函数f(x)的表达形式，欲求f(x)的解析式，就是利用待定系数法，根据题设条件求出a、b、c的值， 　　例3．已知数列{a_n}的通项 ，是否存在等差数列{b_n}，使 ，对一切自然数n都成立，并说明理由． 　　分析　 题目给出的条件是等式，等差数列{b_n}具有确定的形式，可设b_n=a₁+(n-1)d或b_n=pn+q，这两者是等价的，可利用待定系数法，根据题设条件看参数a₁,d或p,q的值是否存在． 　　解法一：假设存在等差数列{b_n}，使对一切自然数n都成立． 　　设 (p,q为待定系数)，则 　　 　　令n=1，得p+q=4　　　 ① 　　　 令n=2，得5p+3q=18　 ② 　　　 由①②联立，解得p=3,q=1故b_n=3n+1，但这样得到的{b_n}只是必要条件，也就是还必须证明其充分性，需用数学归纳法证明：对一切自然数n，等式： 　　 成立 　　(证明略) 　　解法二：可设 ，请同学们自行完成． 　　(2)用待定系数法求曲线方程 　　含参数的曲线方程中，参数值确定，方程随之确定，这就为求曲线方程提供了一种有效方法--待定系数法，这是平面解析几何的重要内容． 　　例4．已知抛物线的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5；若将抛物线向上移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线在x轴上截得线段的一半；若将抛物线向左平移1个单位，则抛物线过原点，求抛物线的方程． 　　解　 根据题设可设所求的抛物线方程为： 　　 　　其中h,a,k为待定系数，因此，必须建立关于h,a,k的三个独立等式． 　　由顶点到原点的距离为5，知 　 ① 　　　 由抛物线(*)向上平移3个单位后的方程为： 　　令y=0，得方程： ，设其二根为x₁,x₂，则在x轴上截得线段长为：在原抛物线(*)中，令y=0，得 设其二根式为x₃,x₄，则在x轴上截得的线段长为： 　　　　 　依题意有： 　　　　 　② 　　　 又由抛物线(*)向左平移1个单位后的方程： 过原点，得 　　 ③ 　　　 由①②③联立，解方程组得： 　　故所求抛物线方程为： 　　例5．若双曲线C满足下列三个条件： 　　①C的实轴在y轴上； 　　②渐近线方程为： ； 　　③当A(5,2)到此双曲线上动点P的最小距离为3． 　　求双曲线C的方程． 　　解　 由 　　故所求双曲线的中心为(0，2)，又实轴在y轴上，故设双曲线方程 　　为 　 (*) 　　　 由渐近线的斜率知： 即b=2a 　　　 故所求方程(*)化简为： 　　设双曲线上点P(x,y)到点A(5,2)的距离为d，则 = 时，d²最小值5+a² 　　　 依题意有：5+a²=9，∴a²=4 　　　 故所求双曲线C的方程为： 　　说明　 引入含参数的曲线方程，用以表示具有某种共同性质的曲线系，再利用题设条件确定参数的值，从而求得曲线的方程，这种待定系数法，体现了引参求变，变中求定的思维策略． 　　2．含参数的方程与不等式 　　例6．设a ∈R，且a≥0，在复数集C内解关于z的方程： ． 　　解　 由原方程可得 ，可知z为实数或纯虚数． 　　若z ∈R，则 ，由原方程化为 　　由于a ≥0，判别式Δ=4+4a>0恒成立． 　　解得 故 　　若z为纯虚数，设 ，原方程化为 　　判断式 Δ=4(1-a)，当 时， 　 　　此时， 　　当a>0时，△＜0，方程无实根，原方程无解， 　　综上，当 时，原方程的解是 ；当a>0时，原方程的解是 　　例7． 已知a∈R，解不等式 　　解　 若a=0，则不等式等价于两个不等式组： 　　(Ⅰ) 　　 (Ⅱ) 　　当a<0时，(Ⅰ) 　　(Ⅱ) 　　当a>0时(Ⅰ) 解集为φ 　　(Ⅱ) 　　综上：当a＜0时，解集为 ； 　　当a=0时，解集为φ； 　　当a＞0时，解集为 ． 　　说明　 通过这一组含参数的方程与不等式的问题的分析研究可以看出，方程或不等式的解集与各项系数之间有着相互确定的密切关系，引入参数的思想方法，可深化对这种关系的认识提高相互转化的能力． 　　　3．含参数的曲线方程与曲线的参数方程． 　　(1)含参数的曲线方程的应用． 　　例8．已知函数 (m为参数) 　　求证(Ⅰ)不论m取何值，此抛物线的顶点总在同一直线L上，(Ⅱ)任意一条平行于L且与抛物线相交的直线被各抛物线截得的线段长都相等． 　　解　 将解析式变形为： 　　可知抛物线的顶点坐标是 即顶点轨迹的参数方程是 　　消去参数m，得 ，说明不论m取何值，顶点均在直线L：上． 　　 (Ⅱ)设平行于L的直线L的方程为y=x+b，代入抛物线方程，得 　　当 ，即 时，直线L与抛物线有两个交点A和B． 　　　　 　　= 与m无关 　　说明直线L被各抛物线截得的线段长都相等． 　　(2)曲线的参数方程的应用 　　例9．点P(x,y)在椭圆 上移动时，求函数 的最大值． 　　解析　 显然，要设法将二元函数的最值问题转化为求一元函数的最值问题，因此选用该椭圆的参数方程． 　　由于 代入函数解析式中， 　　于是 　　= 　　　 = 　　　 令 　　∴ 　 于是 　　 　　当 即 时，u有最大值． 　　∴ 时，u的最大值为 ．

数学中的常量和变量相互依存，并在一定条件下相互转化．而参数(也叫参变量)是介于常量和变量之间的具有中间性质的量，它的本质是变量，但又可视为常数，正是由于参数的这种两重性和灵活性，在分析和解决问题的过程中，引进参数就能表现出较大的能动作用和活力，“引参求变”是一种重要的思维策略，是解决各类数学问题的有力武器． 　　参数广泛地存在于中学的数学问题中，比如：代数中、函数的解析式，数列的通项公式；含参数的方程或不等式；解析几何中含参数的曲线方程和曲线的参数方程等等． 　　参数是数学中的活泼“元素”，特别是一个数学问题中条件与结论涉及的因素较多，转换过程较长时，参数的设定和处理的作用尤为突出，合理选用参数，并处理好参数与常数及变数的联系与转换，在某些问题的求解过程中起到了十分关键的作用．

6．解：(Ⅰ)每吨平均成本为 (万元)． 　　则 　　当且仅当 即x=200时取等号． 　　又150≤200≤220，∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为10万元． 　　(Ⅱ)设年获得总利润为Q万元，则 　　 　　∵ 而Q在 时是增函数， 　　∴x=220时， 　　∴年产量为220吨时，可获得最大利润1280万元． 　　7.解：(Ⅰ)设下调后的电价为x元/kw·h，依题意知：用电量增至 电力部门的收益为 　　(Ⅱ)依题意，有 　　 　　整理得 　　解此不等式组得0.60≤x≤0.75 　　　 答：当电价最低定为0.60元/kw·h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%

1.选(B).提示：细菌繁殖的问题是一个等比数列问题，其首项为1，公比为2，经过3小时分裂9次，因此末项是a₁₀　 ∴ 　　　 2.选(B)，提示：圆柱中液面上升速度为一个常量，即相同时间内漏入圆柱中的液体体积相同，则在圆锥漏斗中，相同时间内保持漏出液体体积相同，是H的增长越来越快． 　　3. 　　　 4.选(B)提示：设一月份为a，月平均增长率为m,则 　 ∴ ． 　　5.解：设有n台抽水机，每相邻两台启动时间间隔为d小时，最后一台工作时间为t小时，依题意，得. 　　　 　　 ∴t=6 　　　 答：第一台工作时间为42小时．

3.1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%,2000年度世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数关系式是____________． 　　4.某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为(　　 ). 　　(A) 　 (B) 　 (C) 　　 (D) 　　5.造纸厂用若干台效率相同的抽水机从河里往蓄水池灌水，若所有机械同时开动，则需24小时灌满水池，若一台接一台地开动，每相邻两台启动时间间隔都相同，那么灌满水池时，第一台的工作时间是最后一台的7倍，问第一台工作了多少时间？ 　　6.某化工厂生产某种化工产品，根据市场调查，年产量需不小于150吨且不大于220吨．这时，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数可近似的表示为 ． 　　(Ⅰ)当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本． 　　(Ⅱ)若每吨平均出厂价为16万元，求年产量为多少吨时，可获得最大的年利润；并求出最大年利润． 　　7.某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为akw·h，本年度计划将电价降到0.55元/kw·h到0.75元/kw·h之间，而用期望电价为0.4元/kw·h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(此例系数为k) 　　该地区电力的成本价为0.3元/kw·h． 　　(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部分的收益y与实际电价x的函数关系式； 　　(Ⅱ)设k=0.2a,当电价最低定为多少时，可保证电力部分的收益比上年至少增长20%？ 　　(注：收益=实际用电量×(实际电价–成本价)

1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成(　　 ) 　　(A)511个　 (B)512个　　 (C)1023个　 (D)1024个 　　2. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3min漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，设H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(min)的函数关系的图示只可能是(　　 )