1. 过抛物线的焦点F，作弦轴于A、B两点，则弦长等于(　　 )

　　 A. 6　　 B. 18　　 C. 　　D. 36

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)设

由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)直线OF的方程为：①

直线GE的方程为：②

从①，②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程

整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

　　 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

当时，点P到椭圆两个焦点(的距离之和为定值。

当时，点P 到椭圆两个焦点(0， 的距离之和为定值2.

[模拟试题]

24．(03全国)(本小题满分14分)

　 　　　　　　 已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

23．(03天津)本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

　　 (Ⅰ)解：由题设可知，记设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离的平方和为　 所以，当时，函数取得最小值.　 答:点P的坐标是

(Ⅱ)解法一：P至三镇的最远距离为

　　 由解得记于是

　　 　当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中

　 解法二:P至三镇的最远距离为　 由解得

　 记于是

　 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

　 　 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为(0，0)，其中

　　　　　　 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，

　 　 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，

若(如图1)，则点M在线段AO上，

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M

重合时，P到三镇的最远距离最小.

　 　若(如图2),则点M在线段AO外,这时

P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，

　 且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，

P到三镇的最远距离最小为.

答：当时，点P的位置在△ABC的外心

；当时，点P的位置在原点O.

22．(03天津)(本小题满分14分)

　　 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图)

　 　 (Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

　点P应位于何处？

　 (Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小，

　　　　 点P应位于何处？

18．本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.

　 (Ⅰ)解：椭圆方程为焦点坐标为

　　　 离心率

(Ⅱ)证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得

整理得根据韦达定理，得

　 所以 ①

将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，

　 由①，②得所以结论成立.

(Ⅲ)证明：设点P(p,0)，点Q(q,0)，由C、P、H共线，

　 得解得，

　 由D、Q、G共线，同理可得

　 变形得

　　 即

　 所以

21．(03天津)(本小题满分15分)

　　 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r)(

　 (Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

　 (Ⅱ)直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证：；

　 (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.

　　　　 求证：|OP|=|OQ|.　　　 (证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)

20．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。

　　 解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

　　 ∵i=(1,0),c=(0,a),　 ∴

　　 因此，直线OP和AP的方程分别为　 y=ax和y－a=－2ax .

　　 消去参数，得点P(x,y)的坐标满足方程y (y－a)=－2a2x2 ,

　　 整理得　 　　　　　　　　①

　　 因为a>0，所以得：

　 (i)当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　 (ii)当0<a<时，方程①表示椭圆，焦点E和

　　　　 为合乎题意的两个定点；

　 (iii)当a>时，方程①表示椭圆，焦点E和F))为合乎题意的两个定点.

19．(03天津)(本小题满分14分)

　　 已知常数a>0，向量c=(0，a)，i=(1，0)，经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

18.(03广东)(每小题满分14分)

　　 已知常数，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)。问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判定是否存在两定点，使得P到两定点距离的和为定值。

　　 按题意有

　　 设

　　 由此有

　　 直线OF的方程为

　　 直线CE的方程为：

　　 从(1)(2)消去参数k，得点P(x，y)坐标满足方程

　　 整理得

　　 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点。

　　 当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

　　 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值

　　 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a。