题目列表(包括答案和解析)
21．(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)设
处取到极值，其中
(Ⅱ)设
求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；
(Ⅲ)若
，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.
解：(Ⅰ)以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，
作CD⊥AB于D， 由题知：
①
而
②
由①②
………………2分
同理，
∴A(－1，0)、B(1，0)……4分
设双曲线方程
由
…………6分
因为E、C两点在双曲线上，所以
………………8分
解得
，∴双曲线方程为
…………10分
(Ⅱ)设
∵
∴
①
又M、N在双曲线上，满足
②
将②代入①，
∵
…………………………12分
又
∴
取值范围为(
) ………………14分
20．(本小题满分12分)
数列
，设Sn是数列的前n项和，并且满足
(Ⅰ)令
是等比数列，并求{bn}的通项公式；
(Ⅱ)令
解：(Ⅰ)
依题意知，s、t是二次方程
的两个实根.
∵
……2分
∴
在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个实根.
∵
…………4分
(Ⅱ)由s、t是的两个实根，知
∴
…6分
∵
故AB的中点C(
)在曲线y=f(x)上. ……8分
(Ⅲ)过曲线上点
的切线方程为
∵
，又切线过原点.
∴
解得
=0，或
当=0时，切线的斜率为ab；当
时，切线的斜率为
……10分
∵
∴两斜率之积
故两切线不垂直. ………………12分
2．大连二模
20. (本题满分14分)
已知直线
与曲线
交于两点A、B。
(1)设
，当
时，求点P的轨迹方程；
(2)是否存在常数a，对任意
，都有
？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。
(3)是否存在常数m，对任意
，都有
为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。
解：(1)设
，则
由
消去y，得：
依题意有
解得：
且
，即
或
且
∴点P的坐标为：
消去m，得：
，即
由
，得
，解得
或
∴点P的轨迹方程为(或)………………5分
(2)假设存在这样的常数a
由
消去y得：
解得：
当时，
，且方程<2>判别式
∴对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有………………10分
(3)假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。
即
即
化简，得：
∵a为任意正实数
，即
，矛盾。
故这样的常数m不存在。………………14分
19. (本题满分14分)
已知点
满足：
，且已知
(1)求过点
的直线
的方程；
(2)判断点
与直线的位置关系，并证明你的结论；
(3)求点
的极限位置。
解：(1)由
，得：
显然直线的方程为
………………3分
(2)由
，得：
∴点
，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：
当n＝2时，点
假设当
时，点
，即
当
时，
∴点
综上，点
………………8分
(3)由
，得：
∴数列
是以
为首项，公差为1的等差数列
即点的极限位置为点P(0，1)………………14分
1．北京宣武区二模
22．(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)若
(Ⅱ)若
(Ⅲ)若
的大小关系(不必写出比较过程).
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)设
……6分
(Ⅲ)在题设条件下，当k为偶数时
当k为奇数时
……14分
21．(本小题满分12分)
垂直于x轴的直线交双曲线
于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P(x0，y0)
(Ⅰ)证明：
(Ⅱ)过P作斜率为
的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解(Ⅰ)证明：
①
直线A2N的方程为
②……4分
①×②，得
(Ⅱ)
……10分
当
……12分
3．唐山二模
22．(本小题满分14分)
(理)给定正整数
和正数
，对于满足条件
的所有无穷等差数列
，试求
的最大值，并求出
取最大值时的首项和公差．
(文)给定正整数和正数，对于满足条件
的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
(理)解：设公差为
，则
． 3分
4分
． 7分
又
．
∴
，
当且仅当
时，等号成立． 11分
∴
． 13分
当数列首项
，公差
时，
，
∴的最大值为
． 14分
(文)解：设公差为，则． 3分
， 6分
又
．
∴
．
当且仅当时，等号成立． 11分
∴
． 13分
当数列首项，公差时，．
∴的最大值为． 14分
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