2．边长为1的等边三角形内，若有n²+1个点，则至少存在2点距离小于.

1．边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.

2．　 主要性质　 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线(段)或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

例题：

[例1]　　 P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。

求证：∠PBA=∠PDA。

[例2]如图左：线段AA′,BB′,CC′交于点O，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。

求证：S_△AOB'+S_△BOC'+S_△COA'<

[例3]　 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。

[例4]　 P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。(蝴蝶定理)

[例5]⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小

[例6]△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD。

1．　　 定义　 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得X与X'关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX'，图形FF'　 。

2．主要性质　 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。

1．　　 定义　 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX'，图形FF'　 。

例1．　　　　　 任何实数x，y，

求证：

例2．　　　　　 求：

例3．　　　　　 设r是实数且满足条件：

求：(第9届美国数学邀请赛AIME试题)

例4．　　　　　 在数列=中每个奇数k出现k次，设有整数p,q,r存在，对所有正整数n，满足，其中表示不大于x的最大整数，

　　　 求：的值。(《数学通讯》问题征解题)

1)充分利用的定义，根据定义，任意实数，而0≤＜1，于是，将关于任意实数x的问题，归结到讨论区间(0，1)上的关于的问题。

2)有意识的利用的性质，特别是前四个性质，因为这四个性质是直接由定义派生出来的，可以说是函数的本质属性的推论。

3)充分利用典型区间，设m=，p=，则x=m+p，其中0≤p＜1，于是，问题归纳到在[0，1]上讨论。为此需要对区间(0，1)进行划分，分段讨论，又常分成几个相等的小段：，于是问题的讨论只要在典型区间上进行即可。

1)定义：为x的小数部分，所以

2)是不减函数，当时，

3)中整数部分可以外拿，

4)有

5)若则

6)在中，m的倍数有个

叫高斯函数，定义域为R，y是不超过x的最大整数。

注：1)

　　 2)