5.已知函数f(x)存在反函数,若点(a,b)在f(x)的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的点是(　　 )

A.(f^-1(b),b)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(a,f^-1(a))

C.(f(a),f^-1(b))　 　　　　　　　　　　　　　　D.(f^-1(b),f(a))

答案：C

解析：由(a,b)在y=f(x)图象上,则(b,a)在y=f^-1(x)图象上,且b=f(a),则a=f^-1(b).

4.(四川成都模拟)已知f(x)=,且f^-1(x-1)的图象的对称中心是(0,3),则a的值为(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　 C.　　　　　　　 D.3

答案：B

解析：f^-1(x)=,f^-1(x-1)=,其对称中心是(0,a+1),∴a+1=3a=2.

3.如图,设函数y=1-(-1≤x≤0),则函数y=f^-1(x)的图象是图中的(　　 )

答案：B

解析：易知点(-,1-)在原函数图象上,故(1-,-)在其反函数图象上,首先排除A、C,又1-<,故点(1-,-)在直线x=左边,排除D,选B.

2.已知f(x)=的图象关于直线y=x对称,则a的取值是(　　 )

A.-1　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　 C.-2　　　　　　　　 D.0

答案：A

解析：由y=,得x=,故f^-1(x)=,因函数f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与其反函数f^-1(x)为同一函数,易得a=-1.

1.点(3,5)在函数y=ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a、b的值分别为(　　 )

A.a=-1,b=7　　　　　 B.a=-1,b=-8　　　　　 C.a=-1,b=8　　　　　　 D.以上都不对

答案：C

解析：由已知得点(3,5)和点(5,3)在直线y=ax+b上,

∴

16.(1)已知f(x)=(a、b、c是常数)的反函数是f^-1(x)=,求a+b+c的值.

(2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax²+b(x≤0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f^-1(x).

解：(1)设y=,解得x=,

即f^-1(x)=,

因此,,

由对应项系数相等得a=3,b=5,c=-2,

∴a+b+c=6.

(2)点P(-1,-2)在f(x)=ax²+b上,则-2=a(-1)²+b,　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又∵点P(-1,-2)在f^-1(x)上,

∴点(-2,-1)在f(x)上.

∴-1=a(-2)²+b.　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由①②联立,解得a=,b=-.

∴f(x)= x²-(x≤0).

∴f^-1(x)=-(x≥-).

15.已知函数y=f(x-1)的反函数为y=f^-1(x-1),且f(1)=2,则f(2)的值为______________.

答案：1

解析：y=f^-1(x-1)x-1=f(y)x=f(y)+1,

故y=f^-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1.

故f(x-1)=f(x)+1,即f(x)=f(x-1)-1,

则f(2)=f(1)-1=1.

14.要使函数y=x²-2ax+1在区间［1,2］上存在反函数,则a的取值范围是(　　 )

A.a≤1　　　 　　　　　B.a≥2　　　　　　 C.a≤1或a≥2　　　　　　 D.1≤a≤2

答案：C

解析：由已知得函数y=x²-2ax+1在区间［1,2］上单调,则a≤1或a≥2.

13.已知f(x)=()²(x≥1),

(1)求f(x)的反函数f^-1(x),并求出反函数的定义域;

(2)判断并证明f^-1(x)的单调性.

解：(1)设y=()²x=,又x≥1,

∴≥10≤y<1,即f^-1(x)=,f^-1(x)的定义域为［0,1］.

(2)f^-1(x)在［0,1)上单调递增.

证明如下:设0≤x₁<x₂<1,∴0≤<<1.

∴f^-1(x₁)-f^-1(x₂)=<0.∴f^-1(x)在［0,1］上单调递增.

拓展应用　 跳一跳,够得着!

12.已知函数f(x)=(x≠-a,a≠).

(1)求它的反函数;

(2)求使f^-1(x)=f(x)的实数a的值;

(3)当a=-1时,求f^-1(2).

解：(1)设y=,∵x≠-a,∴反解得(y-3)x=2-ay.

若y=3,则a=与a≠矛盾.

∴y≠3.∴x=.

∴f^-1(x)=(x≠3,a≠).

(2)当f^-1(x)=f(x)时,有,

整理得(a+3)x²+(a²-9)x-2(a+3)=0.

∴a+3=0,即a=-3.

(3)当a=-1时,由(1)知f^-1(x)=.

∴f^-1(2)=-4.