15.设函数f(x)=,已知函数y=g(x)的图象与y=f^-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,则g(3)=______________.

答案：

解析：y=f^-1(x+1)x+1=f(y)x=f(y)-1,

故y=f^-1(x+1)的反函数为g(x)=f(x)-1=,则g(3)=.

14.已知函数f(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点(　　 )

A.(1,4)　　　　　　　 B.(4,1)　　　　　　　 C.(3,0)　　　　　　　 D.(0,3)

答案：A

解析：∵f(x)的图象过点(0,1),

∴f(0)=1,即f(4-4)=1.

∴f(4-x)图象过点(4,1).

∴f(4-x)的反函数图象过点(1,4).

13.已知函数f(x)=2x²-4x+1,x∈［-1,0］.

(1)求f^-1(x);

(2)作出y=f(x)和y=f^-1(x)的图象,并判断其单调性;

(3)解不等式:f^-1(7x)<f^-1(x+1).

解：(1)设y=2x²-4x+1=2(x-1)²-1,

∴2(x-1)²=y+1.

∵x∈［-1,0］,∴x-1∈［-2,-1］.

∴x-1=-.

∴f^-1(x)=1-,x∈［1,7］.

(2)y=f(x)和y=f^-1(x)的图象见图.

∵y=f(x)在［-1,0］上是减函数,

∴y=f^-1(x)在［1,7］上是减函数.

(3)由(2)知y=f^-1(x)在［1,7］上是减函数,

∵f^-1(7x)<f^-1(x+1),

∴7≥7x>x+1≥1.解得<x≤1,

即原不等式的解集为{x|<x≤1}.

拓展应用　 跳一跳,够得着!

12.已知函数f(x)=,

(1)求反函数f^-1(x);

(2)研究f^-1(x)的单调性;

(3)在同一坐标系中,画出f(x)与f^-1(x)的图象.

解：(1)∵f(x)==y,

∴x+5=y²,且y≥0.

∴x=y²-5.

则f(x)=的反函数为y=f^-1(x)=x²-5(x≥0).

(2)由二次函数的图象知当x≥0时,f^-1(x)为增函数.

(3)图象如图所示.

11.函数y=(x>-1)的图象与其反函数的图象的交点坐标为_________________.

答案：(0,0),(1,1)

解析：由y=,得x=.

由x>-1,得<1,即y<2.

∴其反函数为f^-1(x)=(x<2).

由得

∴

10.点P在f(x)=1+的图象上,又在其反函数的图象上,则P点的坐标为____________.

答案：(2,2)

解析：设点P的坐标为(a,b),

由已知解得

9.函数y=f(x)在［-1,2］上的图象如图所示,则f^-1(x)≥x+1的解集为(　　 )

A.［-1,0］　　　　　　　　　　　　　　　 B.［0,1］

C.［-1,-］　　　　　　　　　　　　　　 D.［-1,2］

答案：C

解析：由已知图象易得f(x)=

故f^-1(x)=

(1)当0≤x≤1时,f^-1(x)≥x+1x-1≥x+1x∈.

(2)当-1≤x<0时,f^-1(x)≥x+1-2x≥x+1x≤-,∴-1≤x≤-.由(1)(2)知所求解集为［-1,-］.

8.对于［0,1］上所有x的值,函数f(x)=x²与其反函数f^-1(x)的相应函数值一定成立的关系式为(　　 )

A.f(x)≥f^-1(x)　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(x)≤f^-1(x)

C.f(x)<f^-1(x)　 　　　　　　　　　　　　　　D.f(x)=f^-1(x)

答案：B

解析：结合f(x)与f^-1(x)图象即得.

7.试求函数y=1+2x-x²(x≥1)和它的反函数的图象的交点.

解：由y=1+2x-x²(x≥1)求得其反函数为y=1+(x≤2),

由

得1+2x-x²=1+(1≤x≤2),

即2x-x²=,

则x(2-x)= ,x()²=,

∴2-x=0或x=1.

∴x=2或x²(2-x)=1.

由x²(2-x)=1,得2x²-x³=1,

即(x²-1)+(x²-x³)=0,

(x-1)(x+1-x²)=0,

∴x=1或x=.

∵1≤x≤2,

∴x=2或x=1或x=.

∴y=f(x)和y=f^-1(x)的交点有3个,分别是(1,2)、(2,1)、(,).

能力提升　 踮起脚,抓得住!

6.设函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x)=(x-1)²(x≤1),则g(x)=____________.

答案：1-(x≥0)

解析：由已知得函数y=g(x)为y=f(x)的反函数,由y=(x-1)²(x≤1),得x=1-,故g(x)=f^-1(x)=1-(x≥0).