2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.

1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.

2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.

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教学点睛

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.

8.设f(x)=log()为奇函数，a为常数，

(1)求a的值；

(2)证明f(x)在(1，+∞)内单调递增；

(3)若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f(x)＞()^x+m恒成立，求实数m的取值范围.

(1)解：f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x).

∴log=－log=＞01－a²x²=1－x²a=±1.检验a=1(舍)，∴a=－1.

(2)证明：任取x₁＞x₂＞1，∴x₁－1＞x₂－1＞0.

∴0＜＜0＜1+＜1+0＜＜log＞log，即f(x₁)＞f(x₂).∴f(x)在(1，+∞)内单调递增.

(3)解：f(x)－()^x＞m恒成立.

令g(x)=f(x)－()^x.只需g(x)_min＞m，用定义可以证g(x)在［3，4］上是增函数，∴g(x)_min=g(3)=－.∴m＜－时原式恒成立.

●思悟小结

7.已知f(x)＝x(+).

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)证明f(x)＞0.

(1)解：f(x)＝x·，其定义域为x≠0的实数.又f(－x)＝－x·＝－x·＝x·＝f(x)，

∴f(x)为偶函数.

(2)证明：由解析式易见，当x＞0时，有f(x)＞0.

又f(x)是偶函数，且当x＜0时－x＞0，

∴当x＜0时f(x)＝f(－x)＞0，

即对于x≠0的任何实数x，均有f(x)＞0.

探究创新

6.(理)定义在［－2，2］上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)＜g(m)，求m的取值范围.

解：由g(1－m)＜g(m)及g(x)为偶函数，可得g(|1－m|)＜g(|m|).又g(x)在(0，+∞)上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜.

说明：也可以作出g(x)的示意图，结合图形进行分析.

(文)(2005年北京西城区模拟题)定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，又f(－3)=0，则不等式xf(x)＜0的解集为

A.(－3，0)∪(0，3)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(－∞，－3)∪(3，+∞)

C.(－3，0)∪(3，+∞)　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(－∞，－3)∪(0，3)

解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.

答案：A

培养能力

5.若f(x)=为奇函数，求实数a的值.

解：∵x∈R，∴要使f(x)为奇函数，必须且只需f(x)+f(－x)=0，即a－+

a－=0，得a=1.

4.(2003年北京)函数f(x)=lg(1+x²)，g(x)=h(x)=tan2x中，______________是偶函数.

解析：∵f(－x)=lg［1+(－x)²］=lg(1+x²)=f(x)，

∴f(x)为偶函数.

又∵1°当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，

∴g(－x)=0.

又g(x)=0，∴g(－x)=g(x).

2°当x＜－1时，－x＞1，

∴g(－x)=－(－x)+2=x+2.

又∵g(x)=x+2，∴g(－x)=g(x).

3°当x＞1时， －x＜－1，

∴g(－x)=(－x)+2=－x+2.

又∵g(x)=－x+2，∴g(－x)=g(x).

综上，对任意x∈R都有g(－x)=g(x).

∴g(x)为偶函数.

h(－x)=tan(－2x)=－tan2x=－h(x)，

∴h(x)为奇函数.

答案：f(x)、g(x)

3.已知f(x)是奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)=lg，那么当x∈(－1，0)时，f(x)的表达式是__________.

解析：当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，∴f(x)=－f(－x)=－lg=lg(1－x).

答案：lg(1－x)