如三个数成等差数列，可设为a－d，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，，aq，aq³.

2.等比数列{a_n}的性质

(1)a_m=a_k·q^m－k.

(2)若数列{a_n}是等比数列，则数列{λ₁a_n}(λ₁为常数)是公比为q的等比数列；若{b_n}也是公比为q₂的等比数列，则{λ₁a_n·λ₂b_n}(λ₁、λ₂为常数)也是等比数列，公比为q·q₂.

(3)下标成等差数列且公差为m的项a_k，a_k+m，a_k+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为q^m.

(4)若m、n、l、k∈N^*，且m+n=k+l，则a_m·a_n=a_k·a_l，反之不成立.

(5)设A=a₁+a₂+a₃+…+a_n，B=a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_2n，C=a_2n+1+a_2n+2+a_2n+3+…+a_3n，则A、B、C成等比数列，设M=a₁·a₂·…·a_n，N=a_n+1·a_n+2·…·a_2n，P=a_2n+1·a_2n+2·…·a_3n，则M、N、P也成等比数列.

1.等差数列{a_n}的性质

(1)a_m=a_k+(m－k)d，d=.

(2)若数列{a_n}是公差为d的等差数列，则数列{λa_n+b}(λ、b为常数)是公差为λd的等差数列；若{b_n}也是公差为d的等差数列，则{λ₁a_n+λ₂b_n}(λ₁、λ₂为常数)也是等差数列且公差为λ₁d+λ₂d.

(3)下标成等差数列且公差为m的项a_k，a_k+m，a_k+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.

(4)若m、n、l、k∈N^*，且m+n=k+l，则a_m+a_n=a_k+a_l，反之不成立.

(5)设A=a₁+a₂+a₃+…+a_n，B=a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_2n，C=a_2n+1+a_2n+2+a_2n+3+…+a_3n，则A、B、C成等差数列.

(6)若数列{a_n}的项数为2n(n∈N^*)，则S_偶－S_奇=nd，=，S_2n=n(a_n+a_n+1)(a_n、a_n+1为中间两项)；

若数列{a_n}的项数为2n－1(n∈N^*)，则S_奇－S_偶=a_n，=，S_2n－1=(2n－1)a_n(a_n为中间项).

3.转化为“基本量”是解决问题的基本方法.

拓展题例

[例1] 数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n－1+1(n≥2)，求通项公式a_n.

解：由a_n=a_n－1+1，得a_n－2=(a_n－1－2).

令b_n=a_n－2，则b_n－1=a_n－1－2，

∴有b_n=b_n－1.

∴b_n=b_n－1=·b_n－2

=··b_n－3

=…=b₁=()^n－1·b₁.

∵a₁=1，∴b₁=a₁－2=－1.

∴b_n=－()^n－1.∴a_n=2－.

[例2] 已知数列{a_n}中，a₁=，a₂=并且数列log₂(a₂－)，log₂(a₃－)，…，log₂(a_n+1－)是公差为－1的等差数列，而a₂－，a₃－，…，a_n+1－是公比为的等比数列，求数列{a_n}的通项公式.

分析：由数列{log₂(a_n+1－)}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a_n+1与a_n的一个递推关系式①；由数列{a_n+1－}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a_n+1与a_n的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出a_n.

解：∵数列{log₂(a_n+1－)}是公差为－1的等差数列，

∴log₂(a_n+1－)=log₂(a₂－a₁)+(n－1)(－1)=log₂(－×)－n+1=－(n+1)，

于是有a_n+1－=2^－(n+1).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

又∵数列{a_n+1－a_n}是公比为的等比数列，

∴a_n+1－a_n=(a₂－a₁)·3^－(n－1)

=(－×)·3^－(n－1)=3^－(n+1).

于是有a_n+1－a_n=3^－(n+1).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①－②可得a_n=2^－(n+1)－3^－(n+1)，

∴a_n=－.

2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：

(1)方程的思想：等比数列中五个元素a₁、a_n、n、q、S_n可以“知三求二”；

(2)分类讨论的思想：当a₁＞0，q＞1或a₁＜0，0＜q＜1时为递增数列，当a₁＜0，q＞1或a₁＞0，0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q=1时为常数列.

1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.

3.证明数列{a_n}是等差数列的两种基本方法是：

(1)利用定义，证明(n≥2)为常数；

(2)利用等比中项，即证明a_n²=a_n－1·a_n+1(n≥2).

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教学点睛

2.运用等比数列求和公式时，需对q=1和q≠1进行讨论.

1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.

9.有点难度哟！

设数列{a_n}，a₁＝，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程：a_n－1x²－a_nx+1＝0(n∈N^*且n≥2)都有根α、β满足3α－αβ+3β＝1.

(1)求证:{a_n－}为等比数列；

(2)求a_n；

(3)求{a_n}的前n项和S_n.

(1)证明：∵α+β＝，αβ＝代入3α－αβ+3β＝1得a_n＝a_n－1+，

∴＝＝为定值.

∴数列{a_n－}是等比数列.

(2)解：∵a₁－＝－＝，

∴a_n－＝×()^n－1＝()ⁿ.

∴a_n＝()ⁿ+.

(3)解：S_n＝(++…+)+＝+＝－.

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