8.在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求的取值范围.

解：令AB=kx，AC=x(k＞0，x＞0)，则总有sinB=，sinC=(图略)，且由正弦定理得sinB=sinA，所以a²=kx²·sinBsinC=kx²sinA，由余弦定理，可得cosA==(k+－sinA)，所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k²－k+1≤0，所以≤k≤.

所以的取值范围为［，］.

探究创新

7.已知△ABC中，2(sin²A－sin²C)=(a－b)sinB，外接圆半径为.

(1)求∠C；

(2)求△ABC面积的最大值.

解：(1)由2(sin²A－sin²C)=(a－b)·sinB得2(－)=(a－b).

又∵R=，

∴a²－c²=ab－b².∴a²+b²－c²=ab.

∴cosC==.

又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.

(2)S=absinC=×ab

=2sinAsinB=2sinAsin(120°－A)

=2sinA(sin120°cosA－cos120°sinA)

=3sinAcosA+sin²A

=sin2A－sin2Acos2A+

=sin(2A－30°)+.

∴当2A=120°，即A=60°时，S_max=.

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=的取值范围.

解：∵b²=ac，∴cosB===(+)－≥.

∴0＜B≤，

y===sinB+cosB=sin(B+).∵＜B+≤，

∴＜sin(B+)≤1.故1＜y≤.

5.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是

A.b=20，A=45°，C=80°　　　　　　　　　　　　　　　 B.a=30，c=28，B=60°

C.a=14，b=16，A=45°　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.a=12，c=15，A=120°

解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有两值.

答案：C

培养能力

4.在△ABC中，若∠C=60°，则=_______.

解析：=

=.　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

∵∠C=60°，∴a²+b²－c²=2abcosC=ab.

∴a²+b²=ab+c².

代入(*)式得=1.

答案：1

3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=(a²+b²－c²)，则∠C的度数是_______.

解析：由S=(a²+b²－c²)得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.

答案：45°

2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为

A.75°　　　　　　　　　　　　 B.60°　　　　　　　　　　　　 C.50°　　　　　　　　　　　　 D.45°

解析：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S_△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=.

∴DF=.

∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大.

答案：C

1.(2004年浙江，8)在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的

A.充分而不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.

答案：B

5.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.

解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，

∴1＜c＜.

答案：(1，)

●典例剖析

[例1] △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a²=b(b+c)，求证：A=2B.

剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.

证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a²=b(b+c)中，得sin²A=sinB(sinB+sinC)sin²A－sin²B=sinBsinC

－=sinBsin(A+B)

(cos2B－cos2A)=sinBsin(A+B)

sin(A+B)sin(A－B)=sinBsin(A+B)，

因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin(A+B)≠0.所以sin(A－B)=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.

评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.

思考讨论

(1)该题若用余弦定理如何解决?

解：利用余弦定理，由a²=b(b+c)，得cosA===，cos2B=2cos²B－1=2()²－1=－1=.

所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.

(2)该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?

解：由题设a²=b(b+c)，得=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①，

作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.

又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.

因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，

所以A=2B.

评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.

[例2] (2004年全国Ⅱ，17)已知锐角△ABC中，sin(A+B)=，sin(A－B)=.

(1)求证：tanA=2tanB；

(2)设AB=3，求AB边上的高.

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以(1)为铺垫，解决(2).

(1)证明：∵sin(A+B)=，sin(A－B)=，

∴

=2.

∴tanA=2tanB.

(2)解：＜A+B＜π，∴sin(A+B)=.

∴tan(A+B)=－，

即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan²B－4tanB－1=0，解得tanB=(负值舍去).得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.

设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

[例3] (2004年春季北京)在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a²－c²=ac－bc，求∠A的大小及的值.

剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b²=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.

解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac.

又a²－c²=ac－bc，∴b²+c²－a²=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

cosA===，∴∠A=60°.

在△ABC中，由正弦定理得sinB=，

∵b²=ac，∠A=60°，

∴=sin60°=.

解法二：在△ABC中，

由面积公式得bcsinA=acsinB.

∵b²=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b²sinB.

∴=sinA=.

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.

●闯关训练

夯实基础

4.已知(a+b+c)(b+c－a)=3bc，则∠A=_______.

解析：由已知得(b+c)²－a²=3bc，∴b²+c²－a²=bc.∴=.∴∠A=.

答案：