1、已知集合，，则­­­­­­­­­

A.　 {1,2}　　　　　 B{1}　　　　　　　　 C{2}　　　　　　　　 D{3}

20．(本小题满分12分)

已知函数f(x)= ax,g(x)= lnx-2.

(1) 试讨论这两个函数的图像的交点个数.

　 (2) 当a=1时，令h(x)=f(x)-g(x),(x)为函数h(x)的导数，求证：对任意实数m,n，当0<m<n时，关于x的方程(x)在区间[m,n]恒有实数解.

解：(1)令F(x)=f(x)-g(x), 由已知F(x)的定义域为{x|x>0},

由

当a>0时，解得：x<0(舍去)或x>，-----2分　 由

x	(0, )		(, +∞)
	－	0	+
y	↘	极小值 3+lna	↗

-------3分

①　　 当3+lna>0,即a>e^-3时，F(x)>0恒成立，F(x)无零点.-----4分

②　　 当0<a< e^-3时,F(x)的极小值3+lna<0,又当x→0时，F(x)=ax-lnx+2→+∞,F(1)=a+2>0,故F(x)有两个零点.-----5分

当a=0时，F(x)=-lnx+2为减函数，F(x)有且只有一个零点e²

当a<0时，F(x)=ax-lnx+2亦为减函数，且当x→0时，F(x)=ax-lnx+2→+∞，当x→+∞时，F(x)→－∞,故F(x)有且只有一个零点.

当a= e^-3时，3+lna=0，F(x)只有一个零点. -----7分

综上所述，当a> e^-3时,这两函数的图像无交点；当0<a< e^-3时这两函数图像有两个交点；当a≤0或a= e^-3时，这两函数有且只有一个交点.----8分

(2)依题意: 方程-=0在区间[m,n]内有解.故只须证明即可.-------9分

令s(x)=ln-,x∈[m,n],则(x)=>0(∵m<x<n),故函数s(x)在[m,n]为增函数，故s(m)<s(n)=0，即；-------10分

令t(x)=ln- x∈[m,n],则(x)=>0(∵m<x<n),故函数t(x)在[m,n]为增函数，即t(n)>t(m)=0,即；故，--11分

综上所述，当0<m<n时，关于x的方程(x)在区间[m,n]恒有实数解.---12分

19.(本小题满分14分)

已知函数当时，总有.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数，求证：当时，若 恒成立，则|g(x)|≤3.5也恒成立.

解：(1)由条件，得，……………1分

　　 当时，总有，所以有

由①+②得，，

又b≥－2，∴b=－2，…………………………………………………………4分

把b=－2代入①和②得

因此.…………………………………………………7分

　 (2)，

是关于x的二次函数，……………………………8分

当时，或

　 或 ------11分

解得，. 因此，当时，的恒成立，则------12分

由>0(0≤x≤1)可知，当1≤m≤时g(x)在[0, ]为增函数，在[，1]上为减函数|，|g(0)|=3≤3.5,|g(1)|=|m-4|≤3,|g()|=||≤3.5,即|g(x)|≤3.5；---13分

当≤m≤时g(x)在[0，1]为增函数,|g(0)|=3≤3.5,|g(1)|=|m-4|≤2.5,即|g(x)|≤3.5。综上所述，当时，若 恒成立，则|g(x)|≤3.5也恒成立.---14分

18．(本小题满分14分)

在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和侧面的长方体).该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.

解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x ，

所以V₁= (4－2x)²·x = 4(x³－4x² + 4x)　 (0<x<2) ．……….. ……….. ………..　 4分

∴V₁^/ = 4(3x²－8x + 4)，……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………. ….5分

令V₁^/ = 0，即4(3x²－8x + 4) = 0，解得x₁ = ，x₂ = 2 (舍去) ．……….. ………7分

∵　 V₁在(0，2)内只有一个极值，　　

∴ 当x = 时，V₁取得最大值．<5,即不符合要求. ….…. …. 9分

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂ = 3×2×1 = 6，显然V₂>5．

故第二种方案符合要求．

　　　　　 图①　　　　　　　　　　　 图②　　　　　　　　　　　　 图③

　…. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….14分

注：第二问答案不唯一。

17.(本小题满分14分)

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直(图1)，图2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形.

(1)根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面图形的面积.

(2)图3中，L、E均为棱PB上的点，且，，M、N分别为棱PA 、PD的中点，问在底面正方形的对角线AC上是否存在一点F，使EF//平面LMN. 若存在，请具体求出CF的长度；若不存在，请说明理由.

解：(1)该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm的正方形(如下图)----2分

其面积为：6×6=36(cm²)---4分

(注：图正确，面积计算体现了图形为正方形一样给分)

　　 (2)如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为Z轴建立空间直角坐标系，则D(6，0，0)，A(6，6，0)，B(0，6，0)，P(0，0，6)，E(0，3，3)，L(0，1，5)，M(3，3，3)，N(3，0，3)------6分

∴ ----7分

设平面LMN的法向量为=(x,y,z)

由　 得令x=2 则=(2，0，3)----9分

设，---10分

则----11分

由，得，即=　 ---12分

又EF 所以，EF//平面LMN----13分

即在底面正方形的对角线AC上存在符合题意的点F，CF=AC=cm----14分

16．(本小题满分13分)

已知函数f(x)=lnx+x|x-a|是增函数，求实数a的取值范围

解：当a≤0时，f(x)=lnx+x² -ax其定义域为{x|x>0},---1分

在x>0时恒成立，即当a≤0时，f(x)是增函数.----2分

当a>0时，　 ---6分

则当x≥a时，恒成立，即f(x)在为增函数----7分

　 当x<a时，由得2x²-ax-1<0,解得--8分

　 ∵x>0,∴f(x)在是增函数-----9分

又lna+a²-a×a=lna-a²+a×a,----10分　 依题意有解得0<a≤1----12分

综上所述，所求a的取值范围为a≤1----13分

15．解：由

，………………4分

(1)当m=3时，，

则……………………6分

………………8分

(2)………………10分

，-----11分

此时，符合题意，---12分

故实数m的值为8.………………13分

14.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，，则的值为________-1

13.已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为

的正三角形(如图)，则三角形ABC中边长与

正三角形的边长相等的边上的高为_______.

12.我们知道，两个互为反函数的函数y=2^x与y=log₂x的图像关于直线y=x成轴对称，利用这一性质，若x₁和x₂分别是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的两根，则x₁+x₂的值为直线y=x与直线y=－x－a的交点的横坐标的2倍，即x₁+x₂=－a; 由函数y=x³与函数互为反函数，我们可以得出：若方程x³+x-3=0的根为x₁，方程(x-3)³+x=0的根为x₂，则x₁+x₂=_______.3