20．(本小题满分14分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．

(1)求椭圆的离心率的取值范围；

(2)设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．

解：(1)依题意设切线长

∴当且仅当取得最小值时取得最小值，

而，．．．．．．2分

，，

从而解得，故离心率的取值范围是；．．．．．．6分

(2)依题意点的坐标为，则直线的方程为， 联立方程组 　

得，设，则有，，代入直线方程得，

，又，，

．．．．．．10分

，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，

，，，所以．．．．．．．14分

19．(本小题满分13分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”．

(1)判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；　　

(2)若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得

对任意的恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．

解：(1)函数的反函数是，

　 　　　　　　而其反函数为

,　 故函数不满足“1和性质”；

．．．．．．6分

(2)设函数满足“2和性质”，

，而，得反函数

由“2和性质”定义可知=对恒成立，

即函数，，在上递减，．．．．．．9分

所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立. ，，易得.而知所以.综合以上有当使得对任意的恒成立．．．．．．．13分　　　　

18. (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为．

(1)设，求的取值范围；

(2)过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线的方程．

解：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数

与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组

，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，易得图中三点的坐标分别为

，．．．．．．4分

(1)令，则直线经过点时

取得最小值，经过点时取得最大值，即，

又三点的值没有取到，所以；．．．．．．8分

(2)过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知

可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．．．．．．．12分

17．(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知为坐标原点，向量，点是直线上的一点，且点分有向线段的比为．

(1)记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；

(2)若三点共线，求的值．

解：依题意知：，设点的坐标为，则：

，所以，点的坐标为

．．．．．．2分

(1)

，．．．．．．4分

由可知函数的单调递增区间为，

单调递减区间为，．．．．．．6分　　

所以，其值域为；．．．．．．8分

(2)由三点共线的，．．．．．．10分

，

．．．．．．．12分

16．(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知等比数列中，，分别为的三内角的对边，且．

(1)求数列的公比；

(2)设集合，且，求数列的通项公式．

解：(1)依题意知：，由余弦定理得：

，．．．．．．3分

而，代入上式得或，又在三角形中，

或；．．．．．．6分

(2)，即且，．．．．．．8分

又，所以，或．．．．．．．10分

15．给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①的定义域是，值域是；

②点是的图像的对称中心；

③函数的最小正周期为1；

④ 函数在上是增函数；　

则其中真命题是__①③　 ．

提示：依题意知，画图可知①③正确．

14．若等差数列的前项和为，且，，，则

　　 12　　　 ．

提示：由得：，，又

，所以．

13．将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为 ．

提示：抛物线按平移后得抛物线的方程为：，所以其焦点坐标为 ．

12．如图，在中，于，为的中点，若，则　　 　．

提示：三点共线，，且，又，．

11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是　　．

提示：由图可知前组的频率为，所以第组

的频率为，学生人数为．