20．(本题满分12分)已知实数a≠0，函数有极大值32.

(1)求实数的值；

(2)求函数的单调区间.

2. 树德一模

1. 台州二模

(20)(本题满分分)

数列中，，当时，其前项的和满足.

(Ⅰ)证明：数列是等差数列；

(Ⅱ)设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.

(20)解(Ⅰ)

即

是1为首项，1为公差的等差数列.　 ………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

　　 ,

所以满足的最小正整数为10.　　　　 ………………………………14分

(21)(本题满分分)

已知函数

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围.

(21)解: (Ⅰ)，令

		1
	_	0	+
	减	1	增

所以的极小值为1,无极大值.　　　　　　 ……………………………………7分

(Ⅱ),若

　　 当时，；当时，．

　　 故在上递减，在上递增．　 ……………………………10分

所以实数 的取值范围是　　　 ………………………………15分

(22)(本题满分分)已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小．

(Ⅰ)求曲线的方程；

(Ⅱ)动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、．

(ⅰ)求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；

(ⅱ)在直线上是否存在一点，使得为等边三角形(点也在直线上)？若存在,求出点 坐标,若不存在,请说明理由.

(22)解:(Ⅰ) 曲线的方程　 　　　　…………………………………………5分

(Ⅱ)(ⅰ)设，

整理得：

同理可得：

又

　　 ………………………………10分

(ⅱ)由(ⅰ)知中点，

当时，则的中垂线方程为

的中垂线与直线的交点

若为等边三角形，则

解得此时,

当时，经检验不存在满足条件的点

综上可得：满足条件的点存在，坐标为. ……………………15分

22. (14分)△ABC中，|AB|=|AC|=1，，P₁为AB边上的一点，，从P₁向BC作垂线，垂足是Q₁；从Q₁向CA作垂线，垂足是R₁；从R₁向AB作垂线，垂足是P₂，再由P₂开始重复上述作法，依次得Q₂，R₂，P₃；Q₃，R₃，P₄……

　　 (1)令BP_n为x_n，寻求BP_n与(即)之间的关系。

　　 (2)点列是否一定趋向于某一个定点P₀？说明理由；

　　 (3)若，则是否存在正整数m，使点P₀与P_m之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。

解：(1)由|AB|=|AC|=1，

　　 从而△ABC为边长为1的正三角形　 2分

　　 则，于是

　　 ∴　 3分

　　 同样　

　　 　4分

　　 又

　 　即　 5分

　　 (2)由(1)可得：

　　 ∴的等比数列

　　 ∴　 7分

　　 当

　　 ∴点P_n趋向点P₀，其中P₀在AB上，且BP₀　 9分

　　 (3)　 11分

　　 由

　　 当

　　 ∴的最小值为4　 14分

21. (12分)已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足

　　 (1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。

(2)当

解：(1)设p(x，y)

　　 则

　　 由得

　　 　3分

　　 整理得(*)　 4分

　　 当k=1时，*式化为x=1表示直线　 5分

　　 当k≠1时，*式化为

　　 表示心为半径的圆　 6分

　　 (2)当k=2时，*式化为

　　 此时，

　　 ∴其最小值为2，最大值为6　 12分

3．德州模拟

21．(本小题满分12分)

已知函数

　 (Ⅰ)设处取到极值，其中

　 (Ⅱ)设求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；

　 (Ⅲ)若，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.

解：(Ⅰ)以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，

作CD⊥AB于D， 由题知：　 ①

而　 ②

由①②　 ………………2分

同理，　 ∴A(－1，0)、B(1，0)……4分

设双曲线方程

由 …………6分

因为E、C两点在双曲线上，所以　 ………………8分

解得，∴双曲线方程为　 …………10分

(Ⅱ)设

∵

∴ ①

又M、N在双曲线上，满足 ②

将②代入①，

∵　 …………………………12分

又

∴取值范围为()　 ………………14分

20．(本小题满分12分)

数列，设S_n是数列的前n项和，并且满足

　 (Ⅰ)令是等比数列，并求{b_n}的通项公式；

　 (Ⅱ)令

解：(Ⅰ)

依题意知，s、t是二次方程的两个实根.

∵……2分

∴在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个实根.

∵　 …………4分

(Ⅱ)由s、t是的两个实根，知

∴…6分

∵

故AB的中点C()在曲线y=f(x)上. ……8分

(Ⅲ)过曲线上点的切线方程为

∵，又切线过原点.

∴　

解得=0，或

当=0时，切线的斜率为ab；当时，切线的斜率为……10分

∵　 ∴两斜率之积

故两切线不垂直.　 ………………12分

2．大连二模

20. (本题满分14分)

　　 已知直线与曲线交于两点A、B。

　　 (1)设，当时，求点P的轨迹方程；

　　 (2)是否存在常数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。

　　 (3)是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。

解：(1)设，则

　　 由消去y，得：

　　 依题意有解得：

　　 且，即或且

　　 ∴点P的坐标为：消去m，得：

　　 ，即

　　 由，得

　　 ，解得或

　　 ∴点P的轨迹方程为(或)………………5分

　　 (2)假设存在这样的常数a

　　 由消去y得：

　　 解得：

　　 当时，，且方程<2>判别式

　　 ∴对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有………………10分

　　 (3)假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。

　　 即

　　 即

　　 化简，得：

　　 ∵a为任意正实数

　　 ，即，矛盾。

　　 故这样的常数m不存在。………………14分