新课标同步单元练习八年级数学北师大版深圳专版
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1. 在$\triangle ABC$中，$AB = 20$，$AC = 13$，高$AD = 12$，则$\triangle ABC$的面积为______。
答案：66或126
解析：当$AD$在$\triangle ABC$内部时，$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 256$，$BD = 16$；$DC^2 = AC^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$，$DC = 5$，$BC = BD + DC = 21$，面积$= \frac{21 × 12}{2} = 126$。当$AD$在外部时，$BC = BD - DC = 16 - 5 = 11$，面积$= \frac{11 × 12}{2} = 66$。
2. 如图1-1-5①，分别以$Rt\triangle ABC$三条边为边向外作正方形，其面积分别用$S_1$，$S_2$，$S_3$表示，则不难证明$S_1 = S_2 + S_3$。【类比探究】(1)如图1-1-5②，分别以$Rt\triangle ABC$三条边为直径向外作半圆，其面积分别用$S_1$，$S_2$，$S_3$表示，请写出$S_1$，$S_2$，$S_3$之间满足的等量关系，并说明理由。
答案：$S_1 = S_2 + S_3$
解析：设$Rt\triangle ABC$三边为$a$，$b$，$c$（$c$为斜边）。半圆面积$S = \frac{1}{2}\pi r^2$，半径为边长的一半，则$S_2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{8}$，$S_3 = \frac{\pi b^2}{8}$，$S_1 = \frac{\pi c^2}{8}$。因为$a^2 + b^2 = c^2$，所以$S_2 + S_3 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8} = S_1$。
【探究应用】(2)如图1-1-5③，分别以$Rt\triangle ABC$三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用$S_1$，$S_2$，$S_3$表示，则$S_1$，$S_2$，$S_3$之间满足的等量关系是______。
答案：$S_1 = S_2 + S_3$
解析：等腰直角三角形以斜边$m$为边时，面积$S = \frac{m^2}{4}$。则$S_2 = \frac{a^2}{4}$，$S_3 = \frac{b^2}{4}$，$S_1 = \frac{c^2}{4}$。因为$a^2 + b^2 = c^2$，所以$S_2 + S_3 = \frac{a^2 + b^2}{4} = \frac{c^2}{4} = S_1$。
【拓展应用】(3)如图1-1-5④，四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形ABCD的四条边为外作正方形，其面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$。请写出$S_1$，$S_2$，$S_3$和$S_4$之间满足的关系，并说明理由。
答案：$S_1 + S_3 = S_2 + S_4$
解析：设对角线交于$O$，$AO = m$，$OC = n$，$BO = p$，$OD = q$。则$S_1 = AB^2 = m^2 + p^2$，$S_2 = BC^2 = p^2 + n^2$，$S_3 = CD^2 = n^2 + q^2$，$S_4 = DA^2 = q^2 + m^2$。$S_1 + S_3 = m^2 + p^2 + n^2 + q^2$，$S_2 + S_4 = p^2 + n^2 + q^2 + m^2$，故$S_1 + S_3 = S_2 + S_4$。
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