新课标同步单元练习八年级数学北师大版深圳专版
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6. $\sqrt{a^2}=|a|$是二次根式的一条重要性质。请利用该性质解答以下问题：
(1)化简：$\sqrt{2^2}=$______，$\sqrt{(-3)^2}=$______，$\sqrt{(3 - \pi)^2}=$______；
(2)已知实数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点如图2-3-2所示，化简$\sqrt{a^2}-|c - a|+\sqrt{(b - c)^2}$。
（数轴：$a$在最左侧，接着是$b$，然后是$0$，最右侧是$c$）
答案：(1) 2；3；$\pi - 3$
解析：$\sqrt{2^2}=|2|=2$；$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$；$\sqrt{(3 - \pi)^2}=|3 - \pi|=\pi - 3$（因为$\pi＞3$）
(2) $-b$
解析：由数轴知$a＜0$，$c - a＞0$，$b - c＜0$。$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，$|c - a|=c - a$，$\sqrt{(b - c)^2}=|b - c|=c - b$。原式$=-a-(c - a)+(c - b)=-a - c + a + c - b=-b$
二、拓展性作业
1. 根据学习“数与式”积累的经验，我们可以通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3 + 1}{3}}=\sqrt{4×\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{8 + 1}{4}}=\sqrt{9×\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{15 + 1}{5}}=\sqrt{16×\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$。
(1)请举出一个符合上述运算规律的例子：______；
(2)如果$n$为正整数，用含$n$的式子表示上述运算规律为______；
(3)用上述运算规律计算：$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}$。
答案：(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$（答案不唯一）
解析：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{24 + 1}{6}}=\sqrt{25×\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
解析：左边$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n(n + 2)+1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^2 + 2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^2}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
(3) 2025$\sqrt 2$
解析：由规律得$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}=2025\sqrt{\frac{1}{2026}}$，则原式$=2025\sqrt{\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}=2025\sqrt{\frac{4052}{2026}}=2025\sqrt{2}$
