9.(全国I)(1)设函数，求的最小值；

　 (2)设正数满足，

　　　　 求证：

(Ⅰ)解：对函数求导数：

于是

当在区间是减函数，

当在区间是增函数.

所以时取得最小值，，

(Ⅱ)证法一：用数学归纳法证明.

(i)当n=1时，由(Ⅰ)知命题成立.

(ii)假定当时命题成立，即若正数，

则

当时，若正数

令

则为正数，且

由归纳假定知

　　 　　①

同理，由可得

　　 ②

综合①、②两式

即当时命题也成立.

根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.

证法二：

令函数

利用(Ⅰ)知，当

对任意

　　　　　　　　　　 .　 ①

下面用数学归纳法证明结论.

(i)当n=1时，由(I)知命题成立.

(ii)设当n=k时命题成立，即若正数

由①得到

　　　 由归纳法假设

　　　 即当时命题也成立.

　　　 所以对一切正整数n命题成立.

8.(江西卷)已知函数(a，b为常数)且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4.(1)求函数f(x)的解析式；

　 (2)设k>1，解关于x的不等式；.

解：(1)将得

(2)不等式即为

即

①当

②当

③.

7．(浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²+2x．

　 (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

　 (Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)+1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．

解：(I)设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,

则　 　　即　 .

∵点在函数的图象上.

　 即　 故g(x)＝.

(II)由可得：

当1时，

此时不等式无解。

当时，

因此，原不等式的解集为[-1, ].

　(III)

①　　　　 当时，＝在[-1,1]上是增函数，

②当时，对称轴的方程为

(i) 当时，，解得。

(ii)　当时，1时，解得

综上,

6..[解](1)h(x)=　 (-2x+3)(x-2)　　　 x∈[1,+∞)

　　　　　　　　 x-2　　　　　　 x∈(-∞,1)

　 (2) 当x≥1时, h(x)=　 (-2x+3)(x-2)=-2x²+7x-6=-2(x-)²+

∴h(x)≤;　

当x<1时, h(x)<-1,

∴当x=时, h(x)取得最大值是

(3)令 f(x)=sinx+cosx,α=

则g(x)=f(x+α)= sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x.

另解令f(x)=1+sinx, α=π,

g(x)=f(x+α)= 1+sin(x+π)=1-sinx,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sinx)( 1-sinx)=cos2x.

3. (北京卷)设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

(I)证明：对任意的x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，则(0，x₂)为含峰区间；若f(x₁)≤f(x₂)，则(x*，1)为含峰区间；

(II)对给定的r(0＜r＜0.5)，证明：存在x₁，x₂∈(0，1)，满足x₂－x₁≥2r，使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r；

(III)选取x₁，x₂∈(0, 1)，x₁＜x₂，由(I)可确定含峰区间为(0，x₂)或(x₁，1)，在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x₂)的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

解：(I)证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．

　　 当f(x₁)≥f(x₂)时，假设x*(0, x₂)，则x₁<x₂<x*，从而f(x*)≥f(x₂)>f(x₁)，

　　 这与f(x₁)≥f(x₂)矛盾，所以x*∈(0, x₂)，即(0, x₂)是含峰区间.

　　 当f(x₁)≤f(x₂)时，假设x*( x₂, 1)，则x*<≤x₁<x₂，从而f(x*)≥f(x₁)>f(x₂)，

　　 这与f(x₁)≤f(x₂)矛盾，所以x*∈(x₁, 1)，即(x₁, 1)是含峰区间.

(II)证明：由(I)的结论可知：

　　 当f(x₁)≥f(x₂)时，含峰区间的长度为l₁＝x₂；

　　 当f(x₁)≤f(x₂)时，含峰区间的长度为l₂=1－x₁；

　　 对于上述两种情况，由题意得

　　 　　　　　　　　　　　①

　　 由①得 1+x₂－x₁≤1+2r，即x₁－x₁≤2r.

　　 又因为x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r,　　 ②

　　 将②代入①得

　　 x₁≤0.5－r, x₂≥0.5－r，　　　　　　　 ③

　　 由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5+r．

　　 所以这时含峰区间的长度l₁＝l₁＝0.5+r，即存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．

(III)解：对先选择的x₁；x₂，x₁<x₂，由(II)可知

　　 x₁+x₂＝l，　　　　　　　　　　　　　　 ④

　　 在第一次确定的含峰区间为(0, x₂)的情况下，x₃的取值应满足

　　 x₃+x₁＝x₂，　　 　　　　　　　　　　　　⑤

　　 由④与⑤可得,

　　 当x₁>x₃时，含峰区间的长度为x₁．

　　 由条件x₁－x₃≥0.02，得x₁－(1－2x₁)≥0.02，从而x₁≥0.34．

　　 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取

x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32．

4(上海)已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x²-x-6.

(1)求k、b的值;

(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数的最小值.

　[解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.

　 (2)由f(x)> g(x),得x+2>x²-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,

　 ==x+2+-5

　 由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立

　 ∴的最小值是-3.

5,(上海)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.

　　 对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

　　　　　　　　　　　 f(x)·g(x)　　 当x∈D_f且x∈D_g

　　 规定: 函数h(x)=　 f(x)　　　　 当x∈D_f且xD_g

　　　　　　　　　　　 g(x)　　　　 当xD_f且x∈D_g

(1)　　 若函数f(x)=-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(2)　　 求问题(1)中函数h(x)的最大值;

(3)　　 若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.

2. (全国卷Ⅰ)已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。(Ⅰ)若方程有两个相等的根，求的解析式；

(Ⅱ)若的最大值为正数，求的取值范围。

解：(Ⅰ)

①

由方程　　 ②

因为方程②有两个相等的根，所以，

即　

由于代入①得的解析式

　 (Ⅱ)由

及

由 解得

故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是

1、(广东卷)设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,

从而知函数不是奇函数,

由

,从而知函数的周期为

又,故函数是非奇非偶函数;

(II)由

(II) 又

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

13.(浙江)函数y＝(x∈R，且x≠－2)的反函数是．

解答题：

12. (江西卷)若函数是奇函数，则a=　　　　　　　 　.

11. (天津卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.