20．(辽宁卷)函数在区间(0，+∞)内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点()得的切线方程，并设函数

　 (Ⅰ)用、、表示m；

　 (Ⅱ)证明：当；

　 (Ⅲ)若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，

　　　　 求b的取值范围及a与b所满足的关系.

解：(Ⅰ)…………………………………………2分

　 (Ⅱ)证明：令

　　　　 因为递减，所以递增，因此，当；

　　　　 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即…………………………6分

　 (Ⅲ)解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　　 对任意成立的充要条件是

　　　 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用(II)的结果可知，的充要条件是：过点(0，)与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

　　　 于是的充要条件是…………………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

　　　 有解、解不等式②得　　　　　　　　　　　　　 ③

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

(Ⅲ)解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　 对任意成立的充要条件是

　　　　 ………………………………………………………………8分

　　　 令，于是对任意成立的充要条件是

　　　 　由

　　　 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式　 ②

　　　 有解、解不等式②得

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

19.(湖南卷)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²+bx，a≠0.

　 (Ⅰ)若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

　 (Ⅱ)设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

解：(I)，

则

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

　 则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

　 综上所述，a的取值范围为(－1，0)∪(0，+∞).

　 (II)证法一　 设点P、Q的坐标分别是(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，0<x₁<x₂.

　　　　 则点M、N的横坐标为

　　　　 C₁在点M处的切线斜率为

　　　　 C₂在点N处的切线斜率为

　　　　 假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂.

　　　　 即，则

　　　　　　　　 =

　　　 所以　 设则①

　　　 令则

　　　 因为时，，所以在)上单调递增. 故

　　　 则. 这与①矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得

　　　 因为，所以

　　　 令，得　 ②

　　　 令

　　　 因为，所以时，

　　　 故在[1，+上单调递增.从而，即

　　　 于是在[1，+上单调递增.

　　　 故即这与②矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

18．(湖南卷)设，点P(，0)是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

(Ⅰ)用表示a，b，c；

(Ⅱ)若函数在(－1，3)上单调递减，求的取值范围.

解：(I)因为函数，的图象都过点(，0)，所以，

　 　 即.因为所以.

　　　 又因为，在点(，0)处有相同的切线，所以

　　　 而

　　　 将代入上式得　 因此故，，

(II)解法一.

当时，函数单调递减.

由，若；若

由题意，函数在(－1，3)上单调递减，则

所以

又当时，函数在(－1，3)上单调递减.

所以的取值范围为

解法二：

　　　 因为函数在(－1，3)上单调递减，且是(－1，3)

上的抛物线，

　　　 所以　 即解得

　　　 所以的取值范围为

17. (湖北卷) 已知向量在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围.

解法1：依定义

开口向上的抛物线，故要使在区间

(－1，1)上恒成立

.

解法2：依定义

的图象是开口向下的抛物线，

16．(福建卷)已知函数的图象在点M(－1，f(x))处的切线方程为x+2y+5=0.

(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.

　　 解：(1)由函数f(x)的图象在点M(－1f(－1))处的 切线方程为x+2y+5=0，知

15．(福建卷)已知函数的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为.

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)求函数的单调区间.

解：(Ⅰ)由的图象经过P(0，2)，知d=2，所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是

(Ⅱ)

解得 　当

当

故内是增函数，在内是减函数，

在内是增函数.

14. (北京卷)已知函数f(x)=－x³+3x²+9x+a,

(I)求f(x)的单调递减区间；

(II)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

　　 解：(I) f ’(x)＝－3x²+6x+9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

　　 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，+∞)．

　　 (II)因为f(－2)＝8+12－18+a=2+a，f(2)＝－8+12+18+a＝22+a，

　　 所以f(2)>f(－2)．因为在(－1，3)上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22+a＝20，解得 a＝－2．　　

故f(x)=－x³+3x²+9x－2，因此f(－1)＝1+3－9－2＝－7，

　　 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

13. ( 全国卷III)已知函数，

(Ⅰ)求的单调区间和值域；

(Ⅱ)设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围

解：对函数求导，得

令解得 或

当变化时，、的变化情况如下表：

x	0
			0

所以，当时，是减函数；当时，是增函数；

　　　　　 当时，的值域为

(Ⅱ)对函数求导，得

因此，当时，

因此当时，为减函数，从而当时有

又，，即当时有

任给，，存在使得，则

即

解式得 或

解式得

又，

故：的取值范围为

12. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分

则V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24)5分

　 =4x³-276x²+4320x

∵V′=12 x²-552x+4320……7分

由V′=12 x²-552x+4320=0得x₁=10，x₂=36

∵x<10 时，V′>0,

10<x<36时，V′<0,

x>36时，V′>0,

所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分

又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分

所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分

11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = ( 　-2ax )

(1)　 当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

(2)设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

解：(I)对函数求导数得

令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0

　解得

当 变化时，、的变化如下表

	+	0	－	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数

而当时=，当x=0时，

所以当时，取得最小值

(II)当≥0时，在上为单调函数的充要条件是

　 即，解得

于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是

即的取值范围是