4．求下列函数的最小正周期

(1)　 ()

(2)　

(3)　 (T=π)

(4)　 (T=|a|π)

3．求函数的单调区间

单调增区间为 k∈Z。

单调减区间为 k∈Z。

2．判断下列函数的奇偶性。

(1)　　　　 (奇)

(2)　　　　　　　　　 (偶)

(3)　　　　 (奇)

(4)　　　　　　　　　　　　 (偶)

(5)(偶)

相位变换-φ>0左移；φ<0右移；

周期变换- ω>1，横坐标缩短倍；0< ω<1，横坐标伸长倍；

振幅变换-A>1，纵坐标伸长A倍；0<A<1，纵坐标缩短A倍

练习：已知：如图是函数y=2sin(ωx+φ)　 的图象，那么

A．，；

B．，；

C．ω=2，；

D．ω=2，；

例1．用五点法作函数的简图，并说明它是通过y=sinx的图象作怎样的变换得到的。

	0		π		2π
x
y	0	3	0	-3	0

先将y=sinx(向左平移)个单位，再把所得的各点(横坐标缩短)到原来的(1/2)，(纵坐标伸长)到原来的(3)而得到的。

先将y=sinx图象的各点的(横坐标缩短到原来的1/2)倍，再把各点向(左)平移(π/6)个单位，然后把所得的各点的(纵坐标伸长)到原来的(3)而得到的。

例2．函数的图像的一条对称轴

方程是()。

A．

B．

C．

D．

例3．函数在一个周期内的图象是()

例4．如图，已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的一个周期的图象，试求函数y的解析表达式

例5．已知函数，

(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；

(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到(2000年高考，难度0.70)

(1)

(2)

例6．求下列各方程在区间[0，2π]内实数解的个数

(1)；

(2)sinx=sin4x；

(1)一个实解

(2)九个实解

例7　 已知函数

(1)作出它的简图：

(2)填空回答问题：

〈1〉振幅　 2　 ；

〈2〉周期　 π　 ；

〈3〉频率；

〈4〉相位；

〈5〉初相；

〈6〉定义域　 R　 ；

〈7〉值域　 [-2，2]　 ；

〈8〉当x=时　 　2　 ；

当时，　 -2　 ；

〈9〉单调递增区间 k∈Z。；

单调递减区间 k∈Z。

〈10〉当x∈ k∈Z时，y>0

当x∈ k∈Z时，y<0

〈11〉图象的对称轴方程　 k∈Z。

〈12〉图像的对称中心k∈Z。

作业：

1．已知函数

求(1)f(x)的值域　　　　　　

(2)f(x)的最小正周期　　　　　

(3)f(x)的单调区间

单调递增区间为 k∈Z。

　k∈Z。

例1．用定义证明：f(x)=tgx在递增。

例2．比较下列各组三角函数的值的大小

(1)sin194°和cos160°；

(2)和

(3)和；

(4)tg1，tg2和tg3；

(1)>(2)<(3)>(4)tg2<tg3<tg1

化为同名、角在同一单调区间内的函数，进而利用增减性比较函数值大小。

例3．求下列各函数的单调区间

(1)；

(2)(减区间)

(3)；

(4)(增区间)

(1)4kπ-2π/3≤x≤4kπ+4π/3(增)；4kπ+4π/3≤x≤4kπ+10π/3(减)，k∈z

(2)

(3)[2kπ-π/2，2kπ+π/6]与[2kπ+π/2，2kπ+5π/6](增)；

(4)6kπ-3π/4≤x<6kπ+3π/4　

[2kπ-π/6，2kπ+π/2]与[2kπ+5π/6，2kπ+3π/2](减)； k∈z

例4．有以下三个命题；

(1)因为sin(0+π)=sinπ=0，sin(π+π)=sinπ=0，

sin(2π+π)=sinπ=0，所以π是y=sinx的周期；

(2)因为sin3x=sin(3x+2π)，所以y=sin3x的最小正周期是2π；

(3)设ω≠0，因为，

所以y=sinωx的周期为。

其中正确的命题的个数为()

A．0 　　　B．1　　 C．2　　 D．3

例5 求下列函数最小正周期

(1)；(1)T=1；

(2)；(2)；

(3)；(3)T=π；

(4)；(4)T=π；

(5)；(5)T=2π；

(6)；(6)；

(7)y=|sin2x|；(7)；

例6求函数的周期。

解：y=4sinx·cosx·cosx=2sin2x·cos2x=sin4x

注意到函数的定义域为{x|x∈R，且，k∈z}

在直角坐标系中，画出其图象

观察图象并根据周期函数的定义，可直所求函数的周期是π。

例7．已知函数，

求：f(1)+f(2)+f(3)+……+f(100)的值。

解：

由函数的周期为6

可知f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0

又100=6×16+4

∴f(1)+f(2)+……+f(100)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

例8．求下列函数的最小正周

(1)

　　　　　 (1)

(2)

　　　　　　　 (2)T=π

求周期的一般思路大致有两种：一是化目标函数为单函数的形式，如y=Asin(ωx+φ)+B；二是可结合图象进行判断。

例10．试判断下列各函数的奇偶性：

(1)f(x)=|sinx|-xctgx；

(2)f(x)=sinx-cosxtgx；

(3)；非奇非偶函数　 既奇又偶函数

说明：定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以在判断函数的奇偶性时，一定首先判断函数的定义域的对称性；

在等价变换的前提下，一般先化简解析式，再判断奇偶性，如(2)：

函数图象的初等变换：平移变换与伸缩变换；对称变换

平移变换与伸缩变换一注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，即综合多步变换时，要考虑变换顺序。

3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画四函数及y=Asin(ωx+φ)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。

考试内容：用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、余切函数的图象和性质；函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

2．会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期，或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三角函数的周期；

1．使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，确定其单调区间及周期的方法。

1．(1)2个(2)63个(3)2个 　　提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数． 　　2．B、 提示：注意到方程右式，是过定点(，0)的直线系． 　　3．A、 提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选(A) 　　4．A 　　　 5．A 　　　 　6．(可以利用图象法求解) 　　(1)x≤-1或0<x≤3　 (2)x≤-1 　　　 7．1 　　　 　8．210° 　　　 9． 　　10．A 　　　 11．D　 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可． 　　12．C 　　　 13． 　　14．A　 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k_AB，而A点为圆x²+y²=1上的动点