4.(2008年湖北卷20).(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化.现用表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于的近似函数关系式为

(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第i月份(),问一年内哪几个月份是枯水期？

(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取计算).

解 (1)①当0＜t10时，V(t)=(-t²+14t-40)

化简得t²-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V(t)＝4(t-10)(3t-41)+50＜50,

化简得(t-10)(3t-41)＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

综上得0<t<4,或10<t≤12,

故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月.

(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4，10)内达到.

由V′(t)=令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	-
V(t)		极大值

由上表，知V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e²+50=108.32(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

3.(2008年江苏卷17)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD

的顶点A,B 及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km ，

为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上

(含边界)，且A,B与等距离的一点O 处建造一个

污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长　

为km．

(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；

②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．

(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

解　 本小题主要考查函数最值的应用．

(Ⅰ)①设AB中点为Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则

, 故，又OP＝，

所以，

所求函数关系式为

②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA=OB=

所求函数关系式为

(Ⅱ)选择函数模型①，

令得sin，因为，所以=.当时，，是的减函数；当时，，y是的增函数.所以当=时，(km)。这时点0位于线段AB 的中垂线上，且距离AB边km处。

2.(2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)

的图象可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

答案　 D

1.(2008年全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一

过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是　　　　　　　 　 (　　 )

答案　 A

7.(2009上海卷文)(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数　　　

描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数()，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.

(1)证明：当x 7时，掌握程度的增长量f(x+1)- f(x)总是下降；　　

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115，121］,(121,127］,

(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.

证明　 (1)当时，

而当时，函数单调递增，且

故函数单调递减　　　　　　

当时，掌握程度的增长量总是下降　　

(2)有题意可知

整理得

解得…….13分

由此可知，该学科是乙学科……………..14分

2008年高考题

6.(2009年上海卷理)有时可用函数　　

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数()，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

(1)证明　 当时，掌握程度的增加量总是下降；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为

,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

证明 (1)当

而当，函数单调递增，且>0……..3分

故单调递减　

当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分

(2)由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分

整理得

解得…….13分

由此可知，该学科是乙学科……………..14分　　

5. (2009湖南卷理)(本小题满分13分)

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

　 (Ⅰ)试写出关于的函数关系式；

　 (Ⅱ)当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

解 (Ⅰ)设需要新建个桥墩，

所以　

　 (Ⅱ)　 由(Ⅰ)知，

　 令，得，所以=64　　　

　　 当0<<64时<0，　 在区间(0，64)内为减函数；　　　　　

当时，>0. 在区间(64，640)内为增函数，

所以在=64处取得最小值，此时，

故需新建9个桥墩才能使最小。

3.(2009山东卷理)(本小题满分12分)

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

(1)将y表示成x的函数；

(11)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解法一:(1)如图,由题意知AC⊥BC,,

其中当时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

(2),,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.

解法二: (1)同上.

(2)设,

则,,所以

当且仅当即时取”=”.

下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.

设0<m₁<m₂<160,则

,

因为0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函数在(0,160)上为减函数.

同理,函数在(160,400)上为增函数,设160<m₁<m₂<400,则

因为1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函数在(160,400)上为增函数.

所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,

所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.

[命题立意]:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.

2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　 .　　　

答案　 　

解析　 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点(0，a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.　　　

[命题立意]:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答

1.(2009福建卷文)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是

A. 　　　　　　　B. 　　　

C. 　　　　　　　D.

答案　 A

解析　 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。