5.(上海卷理12)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为　　　　　

解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥，

高为所以该四面体的体积为

4.(全国Ⅱ卷理16文16)已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离　　　　 ．

[答案]3

[命题意图]本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.

[解析]设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，

3.(江西卷文16)长方体的顶点均在同一个球面上，，，则，两点间的球面距离为　　　　　　　　 .

[答案]

[解析]考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案

2.(江西卷理16)如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为　　　　　 。

[答案]

[解析]考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。

1.(湖北卷理13文14)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是　　　　 cm．

[答案]4

[解析]设球半径为r，则由可得,解得r=4.

12.(四川卷理11文12)半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，

是平面内边长为的正三角形，线段、分别

与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

(A)　 (B)　　　　 (C)　 (D)

解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ cos∠BAC＝

连结OM，则△OAM为等腰三角形

AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD

而AC＝R,CD＝R

故MN：CD＝AN:AC

Þ　 MN＝，

连结OM、ON，有OM＝ON＝R

于是cos∠MON＝

所以M、N两点间的球面距离是

答案：A

10.(全国Ⅰ新卷文7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

(A)3a2　　　　　　 (B)6a2　　　　 　　　(C)12a2　 　　　　(D) 24a2

[答案]B　

解析：根据题意球的半径满足，所以．

11(全国Ⅱ卷理9)已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

(A)1　　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)2　　　　　　 (D)3

[答案]C

[命题意图]本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

[解析]设底面边长为a，则高所以体积，

设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.

9.(全国Ⅰ新卷理10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

(A) 　　　　　　 (B) 　 　　　　 (C) 　　　　 (D)

[答案]B　

解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知

，所以球的半径满足：

，故．

8.(全国Ⅰ卷理12文12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

(A) 　　　　　　　(B)　 　　　　(C) 　　　　　(D)

[答案].B[命题意图]本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

[解析]过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.

7.(辽宁卷文11)已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于

(A)4　　　　　 (B)3　　　　　 (C)2　　　　 (D)

解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为