2．在棱长为的正四面体中，分别是的中点，则( 　　)

1．直线，和不同平面满足：和那么必有( 　　)

且且且且

例1．已知斜三棱柱中，

　，点是与的交点，

(1)基向量表示向量；(2)求异面直线与所成的角；

(3)判定平面与平面

解：设

(1)

(2)由题意，可求得，，

，，，

∴异面直线与所成的角为

(3)取的中点，连结，则

∵，∴，且，∴

∴，平面，∴平面与平面

例2．如图在四棱锥中，底面是，且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面。

(1)若为边的中点，求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面，并证明你的结论。

(1)∵为正三角形，为边的中点，∴，

∵平面垂直于底面，∴底面，∴

在菱形中，，　

∴，

∴为直角三角形，

且，，∴平面

(2)由(1)知底面，，

∴，

∴是二面角的平面角，

∵，∴，∴

(3)∵为边的中点，∴，∴，取的中点，连结，

则，∵，∴平面，∴平面平面，∴点存在，且为的中点。

例3．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，侧棱长为

(1)与能否垂直？请证明你的判断；(2)当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围。

解：∵菱形中，于，设，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则

(1)∵，

∴

∴与不能垂直。

(2)∵，∴，

∵∴，

，

∵，∴设，又，

∴

∵，∴

∴直线与所成角的取值范围是。

4．直角三角形的斜边在平面内，与平面分别成的角，若，则在平面内的射影构成的三角形的面积为 5

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别为，该长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为　　 　　　　　　　　

2．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B　 C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为(　 　)

90°　　 60°　　 45°　　 30°

1．已知两条异面直线所成的角为，直线与，直线与所成的角为，则的范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

9．求的近似值，使误差小于．

解：

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8．设展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求项的系数．

解：第项，

∴，即，∴，

∴或(舍负)．

令，即，∴．

∴项的系数．

7．设，若展开式中关于的一次项系数和为11，试问为何值时，含项的系数取得最小值．

解：由题意知，即，又展开式中含项的系数，

∴当或时，含项的系数最小，最小值为．

此时；或．