1．　 利用不等式的性质解一元一次不等式，并能借助数轴确定不等式的解集。

一次不等式(组)的解法是重点.；热点是综合一次方程、一次不等式、一次函数的性质等知识解应用题.

　　　　　　　 不等式性质

1．不等式

　　　　　　　 不等式的解集 --------使不等式(组)成立的所有未知数的集合

不等式的解法

3.如图，在△ABC中，两外角的平分线BD、CD相交于D，求证：AD平分∠BAC。

2.已知：如图，AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，∠DAB=∠EAC　 求证：AM=AN

例1、　 在∆ABC中，BC=2　 AC=7 周长为奇数，求AB的长。

分析：由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求出AB的范围，再求周长为奇数可确定AB的值。

解：∵BC=2　 AC=7

∴7-2＜AB＜7+2　　 即5＜AB＜9　　 ∴AB=6、7、8

又∵周长为奇数

　 ∴AB+ BC+ AC= AB+2+7= AB+9为奇数

　 ∴AB=6或8

题后反思：利用三角形三边关系可以解决的问题①任意给出的三条线段能否构成三角形；②利用勾股逆定理，判定是否为Rt∆；③已知两边，可求出第三边的取值范围，再利用其它条件，可确定第三边的取值。

例2、在∆ABC 中，∠A=50˚

(1)　　 如图(1) ∆ABC的两条高BD、CE交于O点，求∠BOC的度数

(2)　　 如图(2) ∆ABC的两条角平分线BM、CN交于P，求∠BPC的度数

　　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　　　　　　　 A　　　　　　　

　　　　　　　 E　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 N　　　　　　　　　 M

　　　　　　　　　　　　　　　 D　　　　　　　　　　　　　 P

　　　　　　　　　　 O　　　　　　　　　　　　　　 1　　　 　　　2

　　 B　　　　　　 1　　　 2 　　　C　　　 B　　　　　　　　　　　　 　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　 (1)　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)

分析：(1)题中，由高可知有直角，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得

∠BOC，亦可用四边形内角和去求。

　　　 (2)题中，由角平分线定义及三角形内角和定理可求得∠BPC

解：(1)法一：∵BD为∆ABC的高

∴∠BDC=90˚

∴∠1=90˚-∠BCA　　　 同理∠2=90˚-∠ABC

∵∠ABC+AC=180˚-50˚=130˚

∴∠BOC=180˚-(∠1+∠2)

　　　　 =180˚-(90˚-∠ABC+90˚-∠ACB)

　　　　 =180˚-180˚+∠ABC+∠ACB=130˚

方法二　 ∵BD︰CE为△ABC的高

∴∠BDA=∠CEA=90˚

∵∠A=50˚

∴在四边形AEOD中∠DOE＝360˚－(90˚+90˚+50˚)＝130˚

∴∠BOC＝∠DOE＝130

(2)∵BM　 CN分别为△ABC的角平分线

∴∠1＝∠ABC　　 ∠2=∠ACB

∵∠A=50˚

∴∠ABC+∠ACB=180˚-50˚=130˚

∴∠BPC=180˚-(∠1+∠2)

　　　 =180˚-(∠ABC+∠ACB)

　　　 =180˚-(∠ABC+∠ACB)

　　　 =180˚-×130˚

　　　 =115˚

　　 题后反思：凡是求角度的题，一般都离不开三角形(多边形)内角和定理及，设法利用这些去推出等量关系。题中应设及到高线，别忘了两锐角互余，遇到角平分线要合理利用其倍分关系。

例3、如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC求∠B︰∠C的值

　　　　　　　　　　　　　　　　 A

　　　　　　　　　　　　 B　　　　　 　　D　　　　　　　　　 　　　　C

分析：欲求∠B︰∠C的值，直接支求显然不易，我们可以从AB+BD＝AC的突，破点线段的和问题，往往用截长法，或补短法解决通过截长或补短可得到等量线段，再利用等边对等角去处理此问题。

解法一：(截长法)：在AC上截取AE＝AB连接DE

　　　 ∵AD平分∠BAC

　　　 ∴∠1＝∠2

　　　 在△ABD和△AED中　　　　　　　　 A

　　　　　 AB＝AE

　　　　 　　　 ∠1＝∠2　　　　　　　　　　　　　 1　　 2

　　　　　 AD＝AD　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　4

　　　 ∴△ABD≌△AED(SAS)　　　　　　　　　　　　　

　　　 ∴BD＝DE　 ∠4＝∠B　　　　 B　　　　　　　　　 3　　　　　　　 C

　　　 ∵AC＝AB+BD　 且AE＝AB　　　　　　　　 　D

　　　 ∴EC＝BD

　　　 ∴DE＝EC

　　　 ∴∠3＝∠C

　　　 ∴∠4＝∠3+∠C＝2∠C

　　　 ∴∠B＝2∠C

　　　 ∴∠B︰∠C＝2︰1

解法二：(补短法)延长AB经E，使BE＝BD，连接DE

　　　 ∴∠E＝∠3

　　　 ∵AC＝AB+BD

　　　 ∵AC＝AB+BE＝AE　　　　　　　　　　 A

　　　 ∵AC平分∠BAC　　　　　　　　　　　

　　　 ∵∠1＝∠2　　　　　　　　　　　　　　　　 1　　 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

　　　 在△ADE和△ADC中

　　　　　 AE＝AC　　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　C

　　　　　 ∠1＝∠2　　　　　　　　　　　　　　　 3　　 D

　　　　　 AD＝AD

　　　 ∴△ADE≌△ADC(SAS)

　　　 ∴∠E＝∠C　　　　　　　　　　　

　　　 ∵∠ABC＝∠E+∠3＝2∠E　 E

　　　 ∵∠ABC＝2∠E

　　　 ∴∠B︰∠C＝2︰1

题后反思：此题实际上代表一类题，在利用(或证明)诸如一条线段a等于两线段b、c和对(或a-b=c可能a为a=b+c)通常采用上述两种方法：所增截长法，就是在线段a上截取一段等于b(或c)然后证明余下的一段等于c(或b)；所谓补短法，就是延长线段b(或c使延长部分等于c(或b)，再证明它们的和等于a。此题应改为‘在△ABC中，AD平分∠BAC且∠B︰∠C＝2︰1。求证AB+BD＝AC。’证明基本相似，同学们不妨试一试。

课堂练习：

1.已知：如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，求证：CE=DF

2、　 基本作图(尺规作图)

1、　 三角形　　　　　　　 ⅰ)三角形的角平分线、中线、高线为三种重要线段，理解　　　

①三角形有关概念及性质　　 其性质并会画出内心、外心、垂心、重心

　　　　　　　　　　　　 ⅱ)三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边　　　　

　a、内角和180˚

　　　　　　　　　　　　 ⅲ)三角形中角的关系　 b、外角等于与它不相邻两内角和

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　c、外角大于任一不相邻内角

　　　　　　　　　　　 　　　iv)面积公式

　　　　　　　　　 按边分　 不等边三角形

　　　　　　　　　　　　　 等腰三角形　 只有两边相等

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三边都相等(等边三角形)

②三角形的分类　　　　　　 掌握其判定、性质

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　锐角三角形

　　　　　　　　　　　　　 斜角三角形

　　　　　　　　 按角分　　　　　　　　 钝角三角形

　　　　　　　　　　　　　 直角三角形　 a、合30˚角直角三角形性质

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 b、直角三角形斜边上中线性质

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 c、勾股(逆)定理

③全等三角形

　 ⅰ)了解全等有关概念、性质 以　　　 定义

　 ⅱ)熟练掌握全等三角形的判定方法　 SAS

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ASA　　　　 AAS　　 (AAS)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 SSS

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 HL(只用于Rt∆)

　 ⅲ)熟练掌握全等三角形的性质：对应角等，对应线段(边、角平分线、中线、高)相等

　 ⅳ)命题、定理、逆命题、逆定理有关概念

20.练习：

①　　 抛物线通过(1,1),(－1,3),(2,)三点，求解析式。

②　　 抛物线的顶点是(1,3),且抛物线通过点(2,1),求解析式。

③　　 抛物线通过(－2,0)与(3,0)两点，并且与y轴的交点的纵坐标为－2，求解析式。

④　　 一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象相交于点A(1,2),此一次函数的图象还经过点B(3,2)。求这两个函数的解析式。

⑤　　 已知y+5与x+3成正比例，且当x＝1时，y=3。(1)求y与x的函数关系式；(2)作出此函数的图象。

⑥　　 已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x，0),B(x,0)(x＜x,顶点M的纵坐标为－4，若x，x是方程x－2(m－1)x+m－7的两根，且x+x=10. (1)求A、B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式及点C的坐标;(3)在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出符合条件的点的坐标若不存在，说明理由。

⑦　　 已知抛物线y=－x+2x+3与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C，顶点为P。

(1)　　 求经过P，C的直线与x轴交点Q的坐标；

(2)　　 求tan∠PQB的值。

⑧　　 已知抛物线y= x+5x+k与x轴两个交点间的距离等于3，与y轴交点为点C。直线y=kx+10与抛物线交A,B两点。求三角形ABC的面积。

⑨　　 已知二次函数y=(m+2)x－(2m－1)x+m－3.

(1)　　 求证：无论m取任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点。

(2)　　 当m取何值时，二次函数的图象与x轴两个交点之间的距离等于2。

(3)　　 当m取何值时，二次函数的图象与x轴两个交点分布在y轴两侧。

⑩　　 已知抛物线y= x－(m+8)x+2 m+12,

(1)　　 这个抛物线与x轴有几个交点？如果没有交点，请说明理由；如果有交点，能否判断交点的位置。

(2)　　 由(1)中若能得出抛物线与x轴有两个交点A,B且与y轴交于点C,如果△ABC的面积=80，能否求出m的值？

(3)　　　 抛物线顶点为点P，是否存在实数m使△APB为等腰直角三角形？如果不存在，请说明理由。如果存在，请求出。

19.　 绝对值不等式的解法：

①｜x｜＞a(a>0)x<－a或x > a，若a<0则x取全体实数。

②｜x｜< a(a>0)－a<x<a,若a<0则x无解。