3.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若AB，则a的取值范围是___________________.

解析：AB说明A是B的真子集，利用数轴(如下图)可知a≤1.

答案：a≤1

2.(2004年上海，3)设集合A={5，log₂(a+3)}，集合B={a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=______________.

解析：∵A∩B={2}，∴log₂(a+3)=2.

∴a=1.∴b=2.

∴A={5，2}，B={1，2}.∴A∪B={1，2，5}.

答案：{1，2，5}

1.集合A={(x，y)|x+y=0}，B={(x，y)|x－y=2}，则A∩B是

A.(1，－1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.{(1，－1)}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.{1，－1}

解析：

答案：C

5.已知集合A＝{0，1}，B＝{x｜x∈A，x∈N^*}，C＝{x｜xA}，则A、B、C之间的关系是___________________.

解析：用列举法表示出B＝{1}，C＝{，{1}，{0}，A}，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.

答案：BA，A∈C，B∈C

●典例剖析

[例1] (2004年北京，8)函数f(x)=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x)，x∈P}，f(M)={y|y=f(x)，x∈M}.给出下列四个判断，其中正确判断有

①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=　 ②若P∩M≠，则f(P)∩f(M)≠　 ③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R　 ④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R

A.1个　 　　　　　　　　　　　 B.2个　 　　　　　　　　　　　 C.3个　 　　　　　　　　　　　 D.4个

剖析：由题意知函数f(P)、f(M)的图象如下图所示.

设P=［x₂，+∞)，M=(－∞，x₁］，∵|x₂|＜|x₁|，f(P)=［f(x₂)，+∞)，f(M)=［f(x₁)，+∞)，则P∩M=.

而f(P)∩f(M)=［f(x₁)，+∞)≠，故①错误.同理可知②正确.设P=［x₁，+∞)，M=(－∞，x₂］，∵|x₂|＜|x₁|，则P∪M=R.

f(P)=［f(x₁)，+∞)，f(M)=［f(x₂)，+∞)，

f(P)∪f(M)=［f(x₁)，+∞)≠R，故③错误.同理可知④正确.

答案：B

[例2] 已知A={x|x³+3x²+2x＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x＞－2}，求a、b的值.

解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x₁，x₂］，由A∩B=(0，2］知x₂＝2，

且－1≤x₁≤0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

由A∪B=(－2，+∞)知－2≤x₁≤－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①②知x₁＝－1，x₂＝2，

∴a＝－(x₁+x₂)＝－1，b＝x₁x₂＝－2.

评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并的方法.

深化拓展

(2004年上海，19)记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=

lg［(x－a－1)(2a－x)］(a＜1)的定义域为B.

(1)求A；

(2)若BA，求实数a的取值范围.

提示：(1)由2－≥0，得≥0，

∴x＜－1或x≥1，即A=(－∞，－1)∪［1，+∞).

(2)由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x－a－1)(x－2a)＜0.

∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=(2a，a+1).

∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2.

而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.

故当BA时，实数a的取值范围是(－∞，－2］∪［，1).

[例3] (2004年湖北，10)设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

A.PQ　　　　　　　　　　　　 B.QP　　　　　　　　　　　　 C.P=Q　　　　　　　　　　　　 D.P∩Q=Q

剖析：Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，

对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=(4m)²－4×m×(－4)＜0，解得m＜0.

综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0}.

答案：A

评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.

[例4] 已知集合A={(x，y)|x²+mx－y+2=0}，B={(x，y)|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.

剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x²+mx－y+2=0与线段x－y+1=0(0≤x≤2)有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.

解：由得

x²+(m－1)x+1=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

首先，由Δ=(m－1)²－4≥0，得m≥3或m≤－1.

当m≥3时，由x₁+x₂=－(m－1)＜0及x₁x₂=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当m≤－1时，由x₁+x₂=－(m－1)＞0及x₁x₂=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

综上所述，所求m的取值范围是(－∞，－1］.

评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x²+mx－y+2=0与线段x－y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.

深化拓展

设m∈R，A={(x，y)|y=－x+m}，B={(x，y)|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π}，且A∩B={(cosθ₁，sinθ₁)，(cosθ₂，sinθ₂)}(θ₁≠θ₂)，求m的取值范围.

提示：根据题意，直线y=－x+m与圆x²+y²=1(x≠1)交于两点，

∴＜1且0≠－×1+m.

∴－2＜m＜2且m≠.

答案：－2＜m＜2且m≠.

●闯关训练

夯实基础

4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______________.

解析：构造满足条件的集合，实例论证.

U={1，2，3}，P={1}，Q={1，2}，则(_UQ)={3}，(_UP)={2，3}，易见(_UQ)∩P=.

答案：(_UQ)∩P

3.(2004年天津，1)设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是

A.P∩Q=P　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 B.P∩QQ

C.P∪Q=Q　　 　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　 D.P∩QP

解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.

答案：D

2.(2005年北京西城区抽样测试题)已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则(_RA)∩B等于

A.{1，2，3，4}　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.{2，3，4}

C.{3，4}　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.{4}

解析：_RA={x∈R|x≥5－}，而5－∈(3，4)，∴(_RA)∩B={4}.

答案：D

1.(2004年全国Ⅱ，1)已知集合M={x|x²＜4}，N={x|x²－2x－3＜0}，则集合M∩N等于

A.{x|x＜－2}　　 　　　　 B.{x|x＞3}　　　　　　　　　 C.{x|－1＜x＜2}　　　　　 D.{x|2＜x＜3}

解析：M={x|x²＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x²－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，

∴M∩N={x|－1＜x＜2}.

答案：C

3.集合的运算

(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

(3)补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集(或余集)，记为_S A，即_S A={x|x∈S且xA}.

●点击双基

2.元素与集合、集合与集合之间的关系

(1)元素与集合：“∈”或“”.

(2)集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.