2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式.

1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.

4.强化转化思想、方程思想的应用.

拓展题例

[例1] 杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.

请你根据以上数据，解决下列问题：

(1)引进该设备多少年后，开始盈利？

(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：

第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；

第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.

问哪种方案较为合算？并说明理由.

解：(1)设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n－(12n+×4)－98=－2n²+40n－98，由y＞0，得10－＜n＜10+.

∵n∈N^*，∴3≤n≤17，

即3年后开始盈利.

(2)方案一：年平均盈利为，=－2n－+40≤－2+40=12，

当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.

方案二：盈利总额y=－2(n－10)²+102，n=10时，y取最大值102，

即经过10年盈利总额最大，

共计盈利102+8=110万元.

两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.

[例2] 据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.

(1)假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？(精确到0.01，参考数据：1.08¹⁰≈2.159)

(2)如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b₁表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b₂表示2004年底该市堆积的垃圾数量……b_n表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求b₁；②试归纳出b_n的表达式(不用证明)；③计算b_n，并说明其实际意义.

解：(1)设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨.依题意，得

10+x+1.08x+1.08²x+…+1.08⁹x=50，

∴·x=40.

∴x=×40≈2.76万吨.

∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨.

(2)①b₁=50×80%+3=43(万吨).

②∵b₁=50×80%+3=50×+3，

b₂=b₁+3=50×()²+3×+3，

b₃=b₂+3=50×()³+3×()²+3×+3，

∴可归纳出b_n=50×()ⁿ+3×()^n－1+3×()^n－2+…+3×+3

=50×()ⁿ+3×=50×()ⁿ+15［1－()ⁿ］=35×()ⁿ+15.

③b_n=［35×()ⁿ+15］=15.

这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨.

3.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.

2.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样.

1.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识.

3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

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教学点睛

2.将实际问题转化为数列问题时应注意：

(1)分清是等差数列还是等比数列；

(2)分清是求a_n还是求S_n，特别要准确地确定项数n.

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.

8.(2004年春季北京，20)下表给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数.

(1)写出a₄₅的值；

(2)写出a_ij的计算公式；

(3)证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

(1)解：a₄₅=49.

(2)解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a_1j=4+3(j－1)，

第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a_2j=7+5(j－1)，

……

第i行是首项为4+3(i－1)，公差为2i+1的等差数列，

因此a_ij=4+3(i－1)+(2i+1)(j－1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j.

(3)证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i(2j+1)+j，

从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1)，

即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)，

从而N=k(2l+1)+l=a_kl，

可见N在该等差数阵中.

综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

●思悟小结