2.(2003年北京海淀区二模题)函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f(x)在［－1，0］上是减函数，那么f(x)在［2，3］上是

A.增函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.减函数

C.先增后减的函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.先减后增的函数

解析：∵偶函数f(x)在［－1，0］上是减函数，∴f(x)在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.

答案：A

1.定义在区间(－∞，+∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)

②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)

③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)

④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)

A.①④　　 　　　　　　　　　 B.②③　　 　　　　　　　　　 C.①③　　 　　　　　　　　　 D.②④

解析：不妨取符合题意的函数f(x)=x及g(x)=|x|进行比较，或一般地g(x)= f(0)=0，f(a)＜f(b)＜0.

答案：D

5.给定函数:①y=(x≠0)；②y=x²+1；③y=2^x；④y=log₂x；⑤y=log₂(x+).

在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.

答案：①⑤　 ②　 ③④

●典例剖析

[例1] 已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x－2)在［0，2］上是单调减函数，则

A.f(0)＜f(－1)＜f(2)　　　　　　　　　　　　　 B.f(－1)＜f(0)＜f(2)

C.f(－1)＜f(2)＜f(0)　　　　　　　　　　　　　 D.f(2)＜f(－1)＜f(0)

剖析：由f(x－2)在［0，2］上单调递减，

∴f(x)在［－2，0］上单调递减.

∵y=f(x)是偶函数，

∴f(x)在［0，2］上单调递增.

又f(－1)=f(1)，故应选A.

答案：A

[例2] 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=|x+1|－|x－1|；

(2)f(x)=(x－1)·；

(3)f(x)=；

(4)f(x)=

剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.

解：(1)函数的定义域x∈(－∞，+∞)，对称于原点.

∵f(－x)=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－(|x+1|－|x－1|)=－f(x)，

∴f(x)=|x+1|－|x－1|是奇函数.

(2)先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(3)去掉绝对值符号，根据定义判断.

由得

故f(x)的定义域为［－1，0)∪(0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f(x)= =，这时有f(－x)==－=－f(x)，故f(x)为奇函数.

(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，并且当x＞0时，－x＜0，

∴f(－x)=(－x)［1－(－x)］=－x(1+x)=－f(x)(x＞0).

当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)=－x(1－x)=－f(x)(x＜0).

故函数f(x)为奇函数.

评述：(1)分段函数的奇偶性应分段证明.

(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.

[例3] (2005年北京东城区模拟题)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂).

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.

(1)解：令x₁=x₂=1，有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.

(2)证明：令x₁=x₂=－1，有f［(－1)×(－1)］=f(－1)+f(－1).解得f(－1)=0.

令x₁=－1，x₂=x，有f(－x)=f(－1)+f(x)，∴f(－x)=f(x).∴f(x)为偶函数.

(3)解：f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(16×4)=f(16)+f(4)=3.

∴f(3x+1)+f(2x－6)≤3即f［(3x+1)(2x－6)］≤f(64).(*)

∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，

∴(*)等价于不等式组

或

或或

∴3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.

∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.

评述：解答本题易出现如下思维障碍：

(1)无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.

(2)无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.

深化拓展

已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a²，b)，g(x)＞0的解集是(，)，＞a²，那么f(x)·g(x)＞0的解集是

A.(，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(－b，－a²)

C.(a²，)∪(－，－a²)　　　　　　　　　　　 D.(，b)∪(－b²，－a²)

提示：f(x)·g(x)＞0或

∴x∈(a²，)∪(－，－a²).

答案：C

[例4] (2004年天津模拟题)已知函数f(x)=x++m(p≠0)是奇函数.

(1)求m的值.

(2)(理)当x∈［1，2］时，求f(x)的最大值和最小值.

(文)若p＞1，当x∈［1，2］时，求f(x)的最大值和最小值.

解：(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)=－f(x).

∴－x－+m=－x－－m.

∴2m=0.∴m=0.

(2)(理)(ⅰ)当p＜0时，据定义可证明f(x)在［1，2］上为增函数.∴f(x)_max=

f(2)=2+，f(x)_min=f(1)=1+p.

(ⅱ)当p＞0时，据定义可证明f(x)在(0，］上是减函数，在［，+∞)上是增函数.

①当＜1，即0＜p＜1时，f(x)在［1，2］上为增函数，

∴f(x)_max=f(2)=2+，f(x)_min=f(1)=1+p.

②当∈［1，2］时，f(x)在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.

f(x)_min=f()=2.

f(x)_max=max{f(1)，f(2)}=max{1+p，2+}.

当1≤p≤2时，1+p≤2+，f(x)_max=f(2)；当2＜p≤4时，1+p≥2+，f(x)_max=f(1).

③当＞2，即p＞4时，f(x)在［1，2］上为减函数，∴f(x)_max=f(1)=1+p，f(x)_min=f(2)=2+.

(文)解答略.

评述：f(x)=x+(p＞0)的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.

深化拓展

f(x)=x+的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？

●闯关训练

夯实基础

4.已知f(x)＝ax²+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________.

解析：定义域应关于原点对称，

故有a－1＝－2a，得a＝.

又对于所给解析式，要使f(－x)＝f(x)恒成立，应b＝0.

答案：　 0

3.若偶函数f(x)在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是

A.f(cosα)＞f(cosβ)　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(sinα)＞f(cosβ)

C.f(sinα)＞f(sinβ)　　　　　　　　　　　　　　　　 D.f(cosα)＞f(sinβ)

解析：∵偶函数f(x)在区间［－1，0］上是减函数，∴f(x)在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，

∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.

∴f(sinα)＞f(cosβ).

答案：B

2.已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax³+bx²+cx是

A.奇函数　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.偶函数

C.既奇且偶函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.非奇非偶函数

解析：由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax³+cx(a≠0)为奇函数.

答案：A

1.下面四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象一定与y轴相交　 ②奇函数的图象一定通过原点　 ③偶函数的图象关于y轴对称　 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)

A.1　　　 　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　 C.3　　　 　　　　　　　　　　 D.4

解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0(x∈(－a，a)).

答案：A

3.奇、偶函数的性质

(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

(3)若奇函数的定义域包含数0，则f(0)=0.

(4)奇函数的反函数也为奇函数.

(5)定义在(－∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

●点击双基

2.偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)(或f(x)－f(－x)=0)，则称f(x)为偶函数.

1.奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)(或f(x)+ f(－x)=0)，则称f(x)为奇函数.