1.(2005年北京海淀区高三期末练习)函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数

A.(，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(π，2π)

C.(，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(2π，3π)

解析：仿前面第3小题依次排除A、B、D.

答案：C

5.y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则θ=_______.

解析：y=f(x)为偶函数.

答案：θ=kπ+(k∈Z)

●典例剖析

[例1] 判断下面函数的奇偶性：

f(x)=lg(sinx+).

剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f(x)与f(－x)的关系.

解：定义域为R，又f(x)+f(－x)=lg1=0，

即f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数.

评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件.

[例2] 求下列函数的单调区间：

(1)y=sin(－)；(2)y=－｜sin(x+)｜.

剖析：(1)要将原函数化为y=－sin(x－)再求之.(2)可画出y=－|sin(x+)|的图象.

解：(1)y=sin(－)=－sin(－).

故由2kπ－≤－≤2kπ+3kπ－≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间.

∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，

递增区间为［3kπ+，3kπ+］(k∈Z).

(2)y=－|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ－，kπ+］，减区间为［kπ+，kπ+］.

深化拓展

(2)不用图象能求解吗?

提示：y=－=－=－.

[例3] (2003年春季北京)已知函数f(x)=，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.

解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠+(k∈Z).

所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠+，k∈Z}.

因为f(x)的定义域关于原点对称，且

f(－x)=

==f(x)，

所以f(x)是偶函数.

又当x≠+(k∈Z)时，

f(x)===3cos²x－1，

所以f(x)的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}.

评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.

●闯关训练

夯实基础

4.(2004年全国Ⅱ，11)函数y=sin⁴x+cos²x的最小正周期为

A.　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　 C.π　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.2π

解析：y=sin⁴x+cos²x

=()²+

==+

=cos4x+.

故最小正周期T==.

答案：B

3.(2004年全国Ⅱ，10)函数y=xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数

A.(，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(π，2π)

C.(，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(2π，3π)

解析：用排除法，可知B正确.

答案：B

2.(2004年天津，12)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f(x)=sinx，则f()的值为

A.－　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.－　　　　　　　　　　　 D.

解析：f()=f(－2π)=f(－)=f()=sin=.

答案：D

1.(2003年春季上海)关于函数f(x)=sin²x－()^|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为

①f(x)是奇函数　 ②当x＞2003时，f(x)＞恒成立　 ③f(x)的最大值是　 ④f(x)的最小值是－

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　　　　　　　　 D.4

解析：显然f(x)为偶函数，结论①错.

对于结论②，当x=1000π时，x＞2003，sin²1000π=0，∴f(1000π)=－()^1000π＜，因此结论②错.

又f(x)=－()^|x|+=1－cos2x－()^|x|，－1≤cos2x≤1，

∴－≤1－cos2x≤.

故1－cos2x－()^|x|＜，即结论③错.

而cos2x，()^|x|在x=0时同时取得最大值，所以f(x)=1－cos2x－()^|x|在x=0时可取得最小值－，即结论④是正确的.

答案：A

2.能综合利用性质，并能解有关问题.

●点击双基

1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.

4.7　 三角函数的图象与性质(三)

●知识梳理

由1≤f(x)≤

1≤－(sinx－)²+a+≤

a－4≤(sinx－)²≤a－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由－1≤sinx≤1－≤sinx－≤

(sinx－)=，(sinx－)=0.

∴要使①式恒成立，

只需3≤a≤4.