2.对可化为a^2x+b·a^x+c=0或a^2x+b·a^x+c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.

拓展题例

[例1] 若60^a＝3，60^b＝5.求12的值.

解：a=log₆₀3，b＝log₆₀5，

1－b＝1－log₆₀5＝log₆₀12，

1－a－b＝1－log₆₀3－log₆₀5＝log₆₀4，

＝＝log₁₂4，

12＝12＝12＝2.

[例2] 方程2^x=2－x的解的个数为______________.

解析：方程的解可看作函数y=2^x和y=2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如下图).

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.

答案：1

评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.

1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.

3.指数函数的定义重在“形式”，像y=2·3^x，y=2，y=3，y=3^x+1等函数都不符合形式y=a^x(a＞0，a≠1)，因此，它们都不是指数函数.

●教师下载中心

教学点睛

2.指数函数y=a^x(a＞0，a≠1)的图象和性质受a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.

1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.

9.若关于x的方程25^－|x+1|－4·5^－|x+1|－m=0有实根，求m的取值范围.

解法一：设y=5^－|x+1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y²－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y²－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.

解法二：∵m=y²－4y，其中y=5^－|x+1|∈(0，1］，∴m=(y－2)²－4∈［－3，0).

●思悟小结

8.(2004年全国Ⅲ，18)解方程4^x+|1－2^x|=11.

解：当x≤0时，1－2^x≥0.

原方程4^x－2^x－10=02^x=±2^x=－＜0(无解)或2^x=+＞1知x＞0(无解).

当x＞0时，1－2^x＜0.

原方程4^x+2^x－12=02^x=－±2^x=－4(无解)或2^x=3x=log₂3(为原方程的解).

探究创新

7.若a^2x+·a^x－≤0(a＞0且a≠1)，求y=2a^2x－3·a^x+4的值域.

解：由a^2x+·a^x－≤0(a＞0且a≠1)知0＜a^x≤.

令a^x=t，则0＜t≤，y=2t²－3t+4.借助二次函数图象知y∈［3，4).

6.已知9^x－10·3^x+9≤0，求函数y=()^x－1－4()^x+2的最大值和最小值.

解：由9^x－10·3^x+9≤0得(3^x－1)(3^x－9)≤0，解得1≤3^x≤9.∴0≤x≤2.令()^x=t，则≤t≤1，y=4t²－4t+2=4(t－)²+1.当t=即x=1时，y_min=1；当t=1即x=0时，y_max=2.

培养能力

5.(2004年湖北，理7)函数f(x)=a^x+log_a(x+1)在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为

A. 　　　　 　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　 C.2　　　 　　　　　　　　　　 D.4

解析：f(x)在［0，1］上是单调函数，由已知f(0)+f(1)=a1+log_a1+a+log_a2=alog_a2=－1a=.

答案：B