4．已知向量，若，则的值是_　 ▲　　 .

3．设，则AB的中点M与C的距离为_　 ▲　　 .

2．已知随机变量，且，则 _　 ▲　　 .

1.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量(件)与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温
月销售量(件)

由表中数据算出线性回归方程中的.气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计，

该商场下个月毛衣的销售量的件数约为_　 ▲　　 .

4、在教学过程中充分体现学生的主体作用，引导学生如何画函数的图象，为什么这样画，使学生体会到波形曲线的流畅美，激发学生学习的兴趣。

[板书设计]

3、习题的设计也是由简单到复杂，使学生渐渐掌握，增强学生的双基。

2、整个教学过程循序渐进，让同学能够逐步掌握如何简单的画出正弦函数的图象的方法“五点(作图)法”及如何得到余弦函数的图象。

[教学方法]

借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线，在此基础上由诱导公式画出余弦曲线。(讲授法，讲练结合，启发式教学)

启发学生：

那我们能不能用我们作这个点的方法来画正弦函数的图象呢？

下面，我们利用这种方法来画一下正弦函数的图象。

(打开课件,引导学生仔细观察过程)

请一个同学来归纳一下作图的步骤：

利用单位圆中的正弦线来画正弦函数的图象步骤：

(1)作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆

(2)把单位圆分成12等分(等分越多，画出的图象越精确)，可分别在单位圆中作出对应于x的0,,,…… ,2p 的正弦函数线。

(3)找横坐标：把x轴上从0到2p (2p≈6.28)这一段分成12等分。

(4)找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点。

(5)连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx，x∈[0,2p]的

这时,我们看到的这段光滑曲线就是函数y=sinx在x∈[0,2p]上的函数。

那我们如何画出y=sinx在x∈R的图象呢？终边相同的角的三角函数值有什么关系？(启发学生思考)

于是我们只要将函数y=sinx，x∈[0,2p]的图象向左、右平行移动(每次2p个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx在x∈R上的图象。(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察作图过程)

此时,我们看到的这支曲线就是正弦函数y=sinx在整个定义域上的图象,我们也可以把它称为正弦曲线。

请同学们仔细观察：

是否可看出,在函数y=sinx，x∈[0,2p]的图象上,起关键作用的点只有五个：(哪五个？)

这五个点被称为“起点”、“峰点”、“拐点”、“谷点”、“终点”。

事实上，描出这五个点后，函数y=sinx，x∈[0,2p]的图象的形状就基本确定了。因此，在精确度不高的情况下，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到函数的简图。今后,我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”。

[教学过程设计说明]

1、本节课从先前的函数知识引入如何画函数图象的有关方法，画函数图象的时候，由如何精确的描一个点引入，从而找出画整个正弦函数的图象的方法，培养学生由点到面的能力。

　 　由此得 ； 　同理， 为奇函数　 . 　(ⅱ) 　为偶函数 ； 为奇函数 . 　3、周期性 　(1)基本公式 　(ⅰ)基本三角函数的周期　y＝sinx，y＝cosx的周期为 ；　y＝tanx，y＝cotx的周期为 . 　(ⅱ) 型三角函数的周期 　 的周期为 ； 　 的周期为 . 　(2)认知 　(ⅰ) 型函数的周期 　的周期为 ；

　的周期为 . 　(ⅱ) 的周期 　的周期为；

　的周期为 . 　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与(ⅰ)的区别. 　(ⅱ)若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. 　(ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. 　(3)特殊情形研究 　(ⅰ)y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；　

(ⅱ) 的最小正周期为 ； 　(ⅲ)y＝sin⁴x+cos⁴x的最小正周期为 .　

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 　4、单调性 　(1)基本三角函数的单调区间(族) 　依从三角函数图象识证“三部曲”： 　①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； 　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间(或减区间)； 　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族(或减区间族) 　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. 　(2)y＝ 型三角函数的单调区间 　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 　①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f(u)，u＝ ； 　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f(u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于u的不等式； 　③还原、结论：将u＝ 代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论. 　(二)三角函数的图象 　1、对称轴与对称中心 　(1)基本三角函数图象的对称性 　(ⅰ)　正弦曲线y＝sinx的对称轴为 ；　正弦曲线y＝sinx的对称中心为( ，0) . 　(ⅱ)　余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ；　余弦曲线y＝cosx的对称中心 　(ⅲ)正切曲线y＝tanx的对称中心为 ；　正切曲线y＝tanx无对称轴. 　认知： 　①两弦函数的共性： x＝ 为两弦函数f(x)对称轴 为最大值或最小值；( ，0)为两弦函数f(x)对称中心 ＝0. 　②正切函数的个性： 　( ，0)为正切函数f(x)的对称中心 ＝0或 不存在. 　(2) 型三角函数的对称性(服从上述认知) 　(ⅰ)对于g(x)＝ 或g(x)＝ 的图象 x＝ 为g(x)对称轴 为最值(最大值或最小值)；( ，0)为两弦函数g(x)对称中心 ＝0. (ⅱ)对于g(x)＝ 的图象( ，0)为两弦函数g(x)的对称中心 ＝0或 不存在. 　2、基本变换 　(1)对称变换　(2)振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4)相位变换(左右平移)(5)上、下平移 　3、y＝ 的图象 　(1)五点作图法 　(2)对于A，T， ， 的认知与寻求：　①A：图像上最高点(或最低点)到平衡位置的距离； 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离. 　② ：图象的相邻对称轴(或对称中心)间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离. 　 ： 由T＝ 得出.　　　　　　　 　③ ： 　解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点(或最低点)坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根； 　解法二：逆用“五点作图法”的过程(参见经典例题). 　四、经典例题 　例1、求下列函数的值域： 　(1) 　(2) 　(3) 　(4) 　(5) 　(6) 　分析：对于形如(1)(2)(3)的函数求值域，基本策略是(ⅰ)化归为 的值域；(ⅱ)转化为sinx(或cosx)的二次函数；对于(4)(5)(6)之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是(ⅰ)在适当的条件下考察y²；(ⅱ)转化为分段函数来处理；(ⅲ)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 　解： 　(1) 　

　 　 　∵ 　∴ ，　即所求函数的值域为 . 　(2)由 　

∴ 　∴ 　注意到这里x∈R， ， 　∴ 　　 　∴所求函数的值域为[－1，1]. 　(3)这里 　令sinx+cosx＝t　则有 　且由 　于是有 　

　 ∵ ∴

　因此，所求函数的值域为 . (4)注意到这里y>0，且 ∵ ∴即所求函数的值域为 . 　(5)注意到所给函数为偶函数，又当 　∴此时 　同理，当 亦有 .　∴所求函数的值域为 . 　(6)令 　则易见f(x)为偶函数，且 　∴ 是f(x)的一个正周期.　①　只需求出f(x)在一个周期上的取值范围. 　当x∈[0， ]时， 　又注意到 ， 　∴x＝ 为f(x)图象的一条对称轴　②　

∴只需求出f(x)在[0， ]上的最大值. 　而在[0， ]上， 递增.　　 ③ 亦递增④ 　∴由③④得f(x)在[0， ]上单调递增.　

∴ 　即　 ⑤ 　于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 . 　点评：解(1)(2)运用的是基本化归方法；解(3)运用的是求解关于sinx+cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解(4)借助平方转化；解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致. 　例2、求下列函数的周期： 　(1) ；　(2) ； 　(3) ；　(4) ；　(5) 　分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 +k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理. 　解：　(1) 　＝ 　＝ 　

∴所求最小正周期 . 　(2) ＝ 　＝ ＝ 　∴所求周期 . 　(3) 　＝ 　

＝ ＝ .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 . 　(4) 　注意到3sinx及-sinx的周期为2 ，又sinx≥0(或sinx<0)的解区间重复出现的最小正周期为2 .　∴所求函数的周期为2 . 　(5) 　 　注意到sin2x的最小正周期 ，又sinx≥0(或sinx<0)的解区间重复出现的最小正周期 ，这里 的最小公倍数为 .　∴所求函数的周期 . 　点评：对于(5)，令 　则由 知， 是f(x)的一个正周期.① 　又 　∴ 不是f(x)的最小正周期. ② 　于是由①②知，f(x)的最小正周期为 . 　在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果. 　

请大家研究 的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验. 　例3、已知函数的部分图象， 　(1)求 的值；　(2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标. 　解： 　(1)令 ，则由题意得f(0)＝1 　∵ 　∴ 　注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 ，故逆用“五点作图法”　得： 　由此解得 　∴所求 ， . 　(2)由(1)得 　令 ，解得 ， 　∴函数f(x)图象的对称轴方程为 ；令 解得 ， 　∴函数f(x)图象的对称中心坐标为 . 　点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式： 　 　 　 　例4、　(1)函数 的单调递增区间为　　　　 。 　(2)若函数 上为单调函数，则a的最大值为　　　 。 　(3)　函数 的图象的对称中心是　　　　　 。 　函数 的图象中相邻两条对称轴的距离为　　　 。 (4)把函数 的图象向左平移m(m>0)个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为　　　　　 。 　(5)对于函数 ，给出四个论断： 　①它的图象关于直线x＝ 对称；　②它的图象关于点( ,0)对称； 　③它的周期为 ；　④它在区间(－ ，0)上单调递增. 　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是　　　　　。 　分析： 　(1)这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 　 　 　

∴应填 　(2)由f(x)递增得

　 　易见， 　由f(x)递减得

　 　当k＝0时， 　注意到 而不会属于其它减区间，　故知这里a的最大值为 . (3)(ⅰ)令

∴所给函数图象的对称中心为( ，0) ； 　(ⅱ) 　　 ① 　解法一(直接寻求)　在①中令 　则有② 　又在②中令k＝0得 ，　令k＝1得 　∴所求距离为 － 　解法二(借助转化)：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为 T＝ ，故所求距离为 . 　(4)这里 将这一函数图象向左平移m(m>0)个单位，所得图象的函数解析式为 　令 　则由题设知f(x)为偶函数 f(－x)＝f(x)　 　　∴所求m的最小值为 . 　(5)为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察 　①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形. 　(ⅰ)考察①、③ ②、④是否成立. 由③得 ，故 ；又由①得 　注意到 .　∴在①、③之下， ，易知此时②、④成立. 　(ⅱ)考察②、③ ①、④是否成立.　由③得 ，故 ； 　又由②得 　注意到 . 　∴在②、③之下， ，易知此时①、④成立. 　于是综合(ⅰ)(ⅱ)得正确的命题为①、③ ②、④与②、③ ①、④. 　点评：对于(4)利用了如下认知： ； 　 . 　对于(5)，认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节. 　例5、已知 的最小正周期为2，当 时，f(x)取得最大值2. 　(1)求f(x)的表达式； 　(2)在闭区间 上是否存在f(x)图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由. 　分析：出于利用已知条件以及便于考察f(x)的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f(x)化为+k的形式，这是此类问题的解题的基础. 　解：　(1)去 　令 ， ，即 　则有① 　由题意得②　又由①知 ，注意到这里A>0且B>0，取辅助角 ， 　则由②得③ 　(2)在③中令 　解得x＝k+ 　解不等式④　注意到 ，故由④得k＝5. 　于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 . 　点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f(x)一经化为 +k的形式，解题便胜券在握. 　例6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g(x)在(0，+∞)上是增函数，且g(2)＝0.求当g[f(x)]<0且x∈[0， ]时，实数a的取值范围. 　分析：由点A、B都在函数 的图象上　得： ，∴b＝a，c＝1－a. 　∴ 　∴ 　此时，由g[f(x)]<0且x∈[0， ]解出a的范围，一方面需要利用g(x)的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g(x)的单调性. 　解：由分析得 　∵定义在非零实数集上的奇函数g(x)在(0，+∞)上是增函数，且g(2)＝0， ① 　∴g(x)在(－∞，0)上是增函数，且g(－2)＝0②　∴由①②知，当x<-2或0<x<2时，g(x)<0③ 又设 .则 h(t)＝at+(1－a)， . 　∴g[f(x)]<0且x∈[0， ] g[h(t)]<0，且 .　∴由③得，当 时，h(t)<－2或0<h(t)<2④ 　注意到h(t)＝at+(1－a)　∴由h(t)<－2得h(1)<－2(a<0)或h( )<-2(a>0), 　由0<h(t)<2得 ，解得 .于是综上可知，所求a的取值范围为 . 　点评：在这里，由③到④的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0<h(t)<2亦可通过分类讨论来完成. 　对于h(t)＝at+(1－a) ，　0<h(t)<2 h(t)>0且h(t)<2 　(1)h(t)>0， ⑤　当a>0时，h(t)在 上递增，　∴由⑤得，h(1)>0，显然成立； 　当a<0时，h(t)在 上递减　∴由⑤得，h( )>0 ( －1)a+1>0 ； 　当a＝0时，h(t)显然满足1<h(t)<2.　因此由h(t)>0， 得　 － －1<a≤0　 ⑥ 　(2)h(t)<2， 　⑦当a>0时，h(t)在 上递增，∴由⑦得，h( )<2 ； 　当a<0时，h(t)在 上递减　∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件；　当a＝0时，h(t)＝1，显然满足条件. 　因此由⑦得　 ⑧　于是综合(1)(2)知，由0<h(t)<2推出 　五、高考真题 　(一)选择题 　1、(湖北卷)若 (　　 ) 　A. 　　B. 　　　C. 　　　D. 　分析：注意到我们对 的熟悉，故考虑从认知 的范围入手，去了解 的范围. 　由 ∴ ，　∴ 　应选C. 　2、函数 的部分图象如图，则(　 ) 　A. 　　　

B. 　C. 　　　

D. 　分析：由图象得 .　∴ ，　∴ 　又f(1)=1，∴ 　注意到 ，∴ 　应选C. 　(二)、填空题 　1、(湖北卷)函数 的最小正周期与最大值的和为　　　　 。 　分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论. 　 　(1)注意到sin2x的最小正周期 ，而sinx≥0的解区间重复出现的最小正周期 ，而 的最小公倍数为 ，故所求函数的最小正周期为 . 　(2)由分段函数知，y的最大值为 ，　于是由(1)(2)知应填 . 　2、(辽宁卷) 是正实数，设 .若对每个实数a， 的元素不超过两个，且有a使 含2个元素，则 的取值范围是　　 。 　分析： 　

∴ 　注意到有a使 含有两个元素，　∴相邻两 值之差① 　注意到 的元素不超过两个，　∴相间的两个 值之差② 　∴由①、②得 . 　点评：　对于(1)，在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论. 　对于(2)，这里的 决定于f(x)在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义. 　(三)解答题 　1、若函数 的最大值为2，试确定常数a的值. 　分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f(x)化为 +k的形式，而后便会一路坦途. 　解： 　＝ 　＝ 　由已知得 . 　点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力. 　2、设函数 y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 . 　(1)求 ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)证明直线5x－2y+c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切. 　分析：对于(3)，由于f(x)为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线l与y＝f(x)的图象不相切，只需证直线l的斜率不属于y＝f(x)图象上点的切线斜率的取值集合. 　解：(1)∵ 为函数 图象的对称轴，　∴ 　∴ 即 　

又 . 　(2)由(1)知 ，　当 时，y＝f(x)递增， 　∴所求函数f(x)的增区间为 . 　(3)∵ 　

∴y＝f(x)图象上点的切线的斜率范围为[－2，2]. 而直线5x－2y+c＝0 ，

∴直线5x－2y+c＝0与函数 的图象不相切. 　点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题(3)的解题思路，值得大家仔细领会与品悟. 　3、已知函数 是R上的偶函数，其图象关于点M( )对称，且在区间 上是单调函数，求 的值. 　分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定 的值；已知函数图象关于某直线(或某点)对称，则只能导出关于 的可能取值，此时要进一步确定 的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选. 　解：由f(x)为偶函数得f(－x)＝f(x)(x∈R) 　即 　 　又 　故有 由f(x)图象关于点M( )对称得 　　　 　令x＝0得 　而 　

由此解得 　当k＝0时， ，此时 　当k＝1时， 当k≥2时， 　 ，　 故此时 　因此，综合以上讨论得 或 .　∴所求 ，而 或 . 　点评：对于正弦函数y＝ +k或余弦函数y＝ +k，在单调区间“完整”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期T上，增区间(或减区间)的长度均不超过 .因此，若区间 的长度大于 ，则函数在区间 上不会是单调函数. 　4、设函数f(x)＝xsinx(x∈R). 　(1)证明： ，其中k为正整数. 　(2)设 　(3)设f(x)在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ， 　证明： 　分析：注意到正弦函数为f(x)的成员函数之一，试题中又指出f(x)的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解(2)(3)，均需要从f＇(x)切入. 　证明：　(1)　∵f(x)＝xsinx(x∈R) ∴ 　(2)　　　 　令　 ① 　显然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx　 ② 　 　 ②，即有 ， 　于是 　＝ 　＝ 　(3)设 是 的一个正整数根，即 ，则由直线y＝x与曲线y＝－tanx的位置关系知：对每一个 ，存在 ，使 ，注意到g(x)＝x+tanx在 上是增函数，且 　∴g(x)在 　　又cosx在 内符号不变，

∴(x+tanx)cosx＝sinx+xcosx＝ 在 与在 内异号， 　∴所有满足 的 都是f(x)的极值点. 由题设 为方程x＝－tanx的全部正根.且 ， 　∴　 ③ 　再注意到 　 ④ 　而 　∴1+ 　

∴由④得 　⑤ 　于是由③、⑤得， 　点评：在这里应注意对(2)、(3)中极值点的区别.对于(2)， 只需满足 即可；对于(3)中的 不仅要满足 ，还需认定试题详情