20. (本小题满分14分)

(1) 由, 得　　　　　　　　 2分

由(1)得 m = ,

当a = 2时, m = 2, 满足(2)式;

当a = 3时, m = 1, 不满足(2)式, 舍去. 得f ( x ) = 　( x ¹ 1).　　　　　　 3分

(2) 由条件得

∴ a_n(1 – a_n) = 2S_n　　 (3)　 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

令n = 1,得 a₁ = –1, 　

又a_{n – 1} (1 – a_{n – 1} ) = 2S _{n – 1} ,　　 ∴( a_n + a _{n – 1} )( a_n + 1 – a _{n – 1} )= 0,

由a_n – a _{n – 1} = – 1 , a₁ = –1,得{a_n}是首项为– 1, 公差为– 1的等差数列,

∴ a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

(3) 由(2)知,满足条件的数列不惟一.

　 考虑到a₁ ¹ 1, 由 a_n = – a _{n – 1} 及a_n – a _{n – 1} = – 1和a₁ = –1,

构造数列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }.　　　　　　　　　　　　　　 2分

用数学归纳法证明,该数列满足(3)式,

当n = 1, 2, 3, 4, 5时,直接代入可得(3)式成立,

假设n = k ( k ³ 5)时,(3)成立, 则n = k + 1时,

S_k+1 =S _k + a _k+1 = a_k(1 – a_k) + a _{k + 1} = (–a _{k +1})(1 + a_k+1) + a _{k + 1} =a_k+1(1 – a _k+1).

　 所以n = k + 1时(3)式成立, 即该数列满足题设条件.

　 得满足条件的数列不惟一.　　　

构造数列也可能是:

{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };

{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , (–1) ^{n – 1} 2 , … }( n > 1 )

{ –1, –2,2, –2, –3, – 4, … , – n , … }等等.

19． (本小题满分14分)

(1)

　　　　　　　　　　 4分

(2)P(ζ = 96) = 0.3´0.3 = 0.09;

P(ζ = 98) = 0.3´0.4 + 0.5´0.3 = 0.27;

P(ζ = 100) = 0.5´0.4 + 0.2´0.3 + 0.3´0.3 = 0.35;

P(ζ = 102) = 0.2´0.4 + 0.5´0.3 = 0.23;

P(ζ = 104) = 0.2´0.3 = 0.06.　　　

得，周长分布律如下表所示

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　6分

(3)方法1(利用周长的分布计算)

　Eμ= 96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8　　　　　　　 4分

方法2(利用矩形长与宽的期望计算)

由长和宽的分布率可以算得

Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31)

　 　　=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9

Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21)

　 　　=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20

由期望的性质可得

Eμ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

18. (本小题满分14分)

　 解：

　 　(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x³ + 45x² + 3240x – 5000　 (xÎN且xÎ[1, 20]); 　2分

　 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x² + 60x +3275　 (xÎN且xÎ[1, 20]). 　　2分

　(2) P`(x) = – 30x² + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12)　 (xÎN且xÎ[1, 20])　　 3分

　　　 当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,

　　　 当 12 <x < 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.

　　 ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

　 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.　　　　　　　　　　　　 1分

　(3) 由MP(x ) =　 – 30( x – 1) ² + 3305　 (xÎN且xÎ[1, 20]).

　　 ∴当1< x £ 20时，MP (x)单调递减.　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1分

17．(本小题满分14分)

解1:　 |a - b |² = | (sinx–cosx, -) |²　　　　　　　　　　　　 2分

= (sinx–cosx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　　 3 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

　 　Œ 0 < x < , 　∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

得 |a -b | Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

解2:　 |a – b |² = | a |² – 　a·b + | b |²　　　　　　　　　　 2分　

　　　 = sin² – sinxcosx + (cos²x +1)　　　　　　　　　　　　　　 2分

=sin²–sinxcosx + cos²x +

= (cosx – sinx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　 　Œ 0 < x < , 　∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

得|a - b |² Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

16. (本小题满分14分)

　　 由，得a > 0 , x > 0 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3 分

不等式化成： lg(2ax) < lg(10a + 10x)　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

得2ax < 10a + 10x

(a – 5)x < 5a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

当 0 < a < 5时， a – 5 < 0, 解得x >0,　　　　　　　　　　　　　　　 2分

当 a = 5时，不等式为0•x < 25, 得x > 0,　　　　　　　　　　　　　　 2分

当 a > 5时， a – 5 > 0, 解得0 < x <.　　 　　　　　　　　　　　　　2分

15. (本小题满分14分)

由(b + c)x ² –2ax + (b – c ) = 0有相等实根，　

得 ⊿= 4a ² – 4( b + c )(b – c) = 0，　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

即 a ² + c ² – b ² = 0 ，

　∴ B = 90° .　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　3分

又sinCcosA – cosCsinA=0 ，

得 sin (C – A) = 0 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

∵–< C – A < ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∴ A = C，　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

　　 ∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形.　　　　　　　　　　　　　 2分

13. 　　　.　　　　 14.　 0 < a £– 2　 (或q < x £ p , 其中q > 0, p£– 2)　 .　　

11. (–¥ ，3]　 .　　　　　　　　　　　 12 　　.

20. (本小题满分14分)

设函数f ( x ) = 　(a ÎN*), 又存在非零自然数m, 使得f (m ) = m , f (– m ) < –成立.

(1) 求函数f ( x )的表达式;

(2) 设{a_n}是各项非零的数列, 若对任意nÎN*成立, 求数列{a_n}的一个通项公式;

(4)　　 在(2)的条件下, 数列{a_n}是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明.　

2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学参考评分标准(理科)

19． (本小题满分14分)

10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片，测得其长为29 μm，30 μm，31 μm的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为19 μm，20 μm, 21 μm的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形蕊片的长与宽分别为随机变量ξ和η, 周长为μ .

(1)　　 分别在下表中，填写随机变量ξ和η的分布律;

(2)　　 求周长μ的分布律, 并列表表示；

(3)　　 求周长μ的期望值.