19.(本小题满分10分)如右图,已知曲线C₁:y=x³(x≥0)与曲线C₂:y=-2x³+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C₁、C₂分别相交于点B、D.

(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);

(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.

分析 本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.

解 (1)解方程组

得交点O、A的坐标分别为(0,0)、(1,1).　　　　 2分

f(t)=S_△ABD+S_△OBD=|BD|·|1-0|=|BD|=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

即f(t)=-(t³-t)(0<t<1).　　　　　　　　　　　 4分

(2)f′(t)=-t²+.　　　　　　　　　　　 　　6分

令f′(t)=-t²+=0,得t=,t=-(舍去).

当0<t<时,f′(t)>0,从而f(t)在区间(0,)上是增函数;　　 8分

当<t<1时,f′(t)<0,从而f(t)在区间(,1)上是减函数.

所以当时,f(t)有最大值f()=.　　　　　　　 10分

18.(本小题满分10分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根且f′(x)=2x+2,求f(x)的表达式.

分析 本题主要考查导数运算的逆运用.利用待定系数法设函数解析式,代入条件求解.

解 设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),　　　 2分

∴f′(x)=2ax+b.　　　　　　　 3分

由条件f′(x)=2x+2,得a=1,b=2.

∴f(x)=x²+2x+c.　　　　　　　 5分

∵方程f(x)=0有两个相等实根,

∴Δ=4-4c=0,即c=1.　　　　　 8分

∴函数解析式为f(x)=x²+2x+1.　 10分

17.(本小题满分8分)设f(x)在x=1处连续,且求f′(1).

分析 本题考查抽象函数在某点处的导数.根据f(x)在某点连续的定义及导数的定义求解.

解 ∵f(x)在x=1处连续,∴f(x)=f(1).　　 2分

又f(x)=［(x-1)·］

=(x-1)·=0·2=0.

∴f(1)=0.　　　　　　　　　　　　　　　 5分

根据导数的定义，得

f′(1)=　　 8分

16.★(本小题满分8分)已知导函数f′(x)的下列信息:

当1<x<4时,f′(x)>0;

当x>4或x<1时,f′(x)<0;

当x=4或x=1时,f′(x)=0.

试画出函数f(x)图象的大致形状.

分析 本题考查函数的单调性、极值与导函数的关系.

解 当1<x<4时,f′(x)>0,可知f(x)在此区间内单调递增;　　　　　 2分

当x>4或x<1时,f′(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减;　　　 4分

当x=4或x=1时,f′(x)=0,是两个极值点.　　　　　　　　　　　 6分

综上,函数f(x)的图象的大致形状如下图所示(注:图象不唯一,只要符合题设条件即可).

　　　 8分

15.(本小题满分8分)过曲线y=x-e^x上某点的切线平行于x轴,求这点的坐标及切线方程.

分析 利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程.

解∵y′=1-e^x,　　　　　　　　　　　　　 2分

又切线与x轴平行,∴切线的斜率k=0.　　 3分

∴令y′=1-e^x=0,得x=0.　　　　　　　　 5分

∴切点坐标为(0,-1).　　　　　　　　　　 6分

∴切线方程为y=-1.　　　　　　　　　　 8分

14.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　 .

分析 本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数φ(x)=f(x)g(x),利用φ(x)的性质解决问题.

解 设φ(x)=f(x)g(x),则φ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.

∴φ(x)在(-∞,0)上是增函数且φ(-3)=0.

又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴φ(x)=f(x)g(x)为奇函数.

∴φ(x)在(0,+∞)上也是增函数且φ(3)=0.

当x<-3时,φ(x)<φ(-3)=0,即f(x)g(x)<0;

当-3<x<0时,φ(x)>φ(-3)=0,即f(x)g(x)>0.

同理,当0<x<3时,f(x)g(x)<0;

当x>3时,f(x)g(x)>0.

∴f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).

答案 (-∞,-3)∪(0,3)

13.★过原点作曲线y=2^x的切线,则切点的坐标为　　　　 ,切线的斜率为　　　.

分析 本题考查指数函数的导数及导数的几何意义.

解 ∵y=2^x,∴y′=2^xln2.

设切点坐标为(x₀,),则过该切点的直线的斜率为ln2,直线的方程为y-=ln2(x-x₀).

∵直线过原点,∴0-=ln2(0-x₀).

∴=x₀·ln2.∴x₀=log₂e,

即切点坐标为(log₂e,e),斜率为eln2.

答案 (log₂e,e)　　 eln2.

12.有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　 m².

分析 本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数?

解 设场地的长为x m，则宽为(8-x) m,有S=x(8-x)=-x²+8x,x∈(0,8).

令S′=-2x+8=0,得x=4.

∵S在(0,8)上只有一个极值点,

∴它必是最值点,即S_max=16.

此题也可用配方法、均值不等式法求最值.

答案 16

11.函数y=e^x2的导数是　　　 .

分析 本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.

解 设y=e^μ,μ=x²,

则y_x′=y_μ′·μ_x′=(e^u)′·(x²)′=e^μ·2x=2xe^x2.

答案 2xe^x2.

10.若函数y=x³-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则(　 )

A.0<b<1　　　　　　　　 B.b<1

C.b>0　　　　　　　　　 D.b<

分析 本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.

解 对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.

∵函数在(0，1)内有极小值，∴极值点在(0，1)上.

令y′=3x²-3b=0,得x²=b,显然b>0,

∴x=±.又∵x∈(0,1),

∴0<<1.∴0<b<1.

答案A

第Ⅱ卷(非选择题共60分)