22．(本小题满分12分)

　　 已知,其中,设,.

(I) 写出;

(II) 证明:对任意的,恒有.

高考试题理科数学试题

(17) (本小题满分12分)

已知函数，.求:

(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

(II) 函数的单调增区间.

(18) (本小题满分12分)]

已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.

(I) 证明平面;

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.

(19) (本小题满分12分)

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(I)　 求、的概率分布和数学期望、;

(II)　 当时,求的取值范围.

(20) (本小题满分14分)

已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C

　 (I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值

(13) 设则__________

(14) _____________

(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)

(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______

(1)　　 设集合,则满足的集合B的个数是

(A)1　　 (B)3　　 (C)4　 (D)8

(2) 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是

　 (A)是奇函数　 (B)是奇函数　

(C) 是偶函数　 (D) 是偶函数

(3) 给出下列四个命题:

　　 ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一平面的两个平面互相平行.

③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.

④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.

其中假命题的个数是

(A)1　　 (B)2　　 (C)3　 (D)4

(4) 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是

(A)　　 (B)　 (C) 　　(D)

(5) 设+是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有+,则称A对运算+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是

(A)自然数集　 (B)整数集　　 (C)有理数集　 (D)无理数集

(6)的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为

(A)　　 (B)　　 (C) 　(D)

(7) 与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为

(A)　　 (B) 　　

(C) 　(D)

(8) 曲线与曲线的

(A)焦距相等　　 (B) 离心率相等　　 (C)焦点相同　 (D)准线相同

(9) 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于

(A)　　 (B)　 　(C) 　(D)

(10) 直线与曲线　 的公共点的个数为

(A)1　　 (B)2　　 (C)3　 (D)4

(11)已知函数,则的值域是

(A)　　 (B) 　　(C) 　　(D)

(12) 设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是

(A)　　 (B) 　　(C) 　　(D)

20．设点(，0)，和抛物线：y＝x²+a_n x+b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到：

　 x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x²+a₁x+b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x²+a_n x+b_n上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

　 (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

　 (Ⅱ)证明{}是等差数列．

解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),C₁：y=x²-7x+b₁.

设点P(x,y)是C₁上任意一点,则|A₁P|=

令f(x)=(x-1)²+(x²-7x+b₁)²,则由题意得,,

即又P₂(x₂,0)在C₁上,∴2=x₂² -7x₂+b₁

解得x₂=3,b₁=14.故C₁方程为y=x²-7x+14.

(Ⅱ)设P(x,y)是C₁上任意一点,则|AnP|=

令g(x)=(x-x_n)²+(x²+a_nx+bn)²,则,由题意得,,

即=0,

又∵,∴(x_n+1-x_n)+2ⁿ(2x_n+1+a_n)=0(n≥1),

即(1+2ⁿ⁺¹)x_n+1-x_n+2ⁿa_n=0,　 (*)

下面用数学归纳法证明x_n=2n-1.

①　　 当n=1时,x₁=1,等式成立.

②　　 假设当n=k时,等式成立,即x_k=2k-1.

则当n=k+1时,由(*)知(1+2^k+1)x_k+1-x_k+2^ka_k=0,　 (*)

又a_k=-2-4k-,∴.

即当n=k+1,时等式成立.

由①②知,等式对n∈N⁺成立,∴{x_n}是等差数列.

19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

　 (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．

　 (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

解：(Ⅰ)().

(Ⅱ)随机变量ζ的取值为0、1、2、3.由n次独立重复试验概率公式P_n(k)=,得P(ζ=0)=,

P((ζ=1)=,

P((ζ=2)=,

P((ζ=3)=.

ζ	0	1	2	3
P

随机变量ζ的分布列是

ζ的数学期望是E(ζ)= ×0+×1+×2+×3=

(Ⅱ)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,

由,得p=.

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

　 (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

解：解法一

(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角为arcsin

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.

∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

(Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().

∵OG⊥平面PBC,∴又∴,

∴h=,∴PA=,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.

∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.

17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)若直线l₁：x＝m(|m|＞1)，P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为(a>0,b>0),半焦距为c,则|MA₁|=,|A₁F₁|=a-c 由题意,得∴a=2,b=,c=1.

故椭圆的方程为

(Ⅱ)设P(m,y_q),|m|>1,

当y_q=0时,∠F₁PF₂=0,当y_q≠0时,0<∠F₁PF₂<∠PF₁M<,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

设直线PF₁的斜率k₁=,直线PF₂的斜率k₂=,

∴tan∠F₁PF₂=

当且仅当时,∠F₁PF₂最大,∴Q(m,),|m|>1

16．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²＝2x．

　 (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x_q,y_q关于原点的对称点(x,y),

则即∵点Qx_q,y_q)在函数f(x)的图象上,

∴-y=-x²+2x.,故g(x)=-x²+2x

(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x²-|x-1|≤0,当x≥1时,2x²-x+1≤0,此时不等式无解,

当x<1时,2x²+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,]

15．已知函数f(x)＝－sin²x+sinxcosx．

　 (Ⅰ) 求f()的值；

　 (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ)∵

(Ⅱ)

,16sin²α-4sinα-11=0,解得sinα=

∵α∈(0,π),∴sinα>0,故sinα=